2.63. Приложения теоремы Грина.

Возьмем замкнутую поверхность охватывающую область, в каждой точке которой справедливы равенства

Тогда из теоремы Грина следует соотношение

Возьмем точку внутреннюю по отношению к поверхности и обозначим через расстояние от точки до элемента поверхности Мы докажем, что если значение функции в точке то справедливо равенство

Эта формула определяет значение функции в произвольной точке внутри области через значения этой функции на границе области.

Доказательство. Возьмем Легко доказать равенство . Окружим точку сферой 2 с центром в этой точке. Радиус сферы мал, так что сфера 2 целиком лежит внутри поверхности Применим формулу (2) п. 2.62 к области, заключенной между поверхностями Так как на поверхности 2 имеет место равенство то получаем соотношение

Так как первые два интеграла не зависят от величины то не должен зависеть от и третий интеграл, который равен, следовательно, своему предельному значению при Если выбрать настолько малым, что на всей сфере с точностью до малых второго порядка, то предел этого интеграла можно вычислить следующим образом:

Рис. 42.

Отсюда мы получаем третье тождество Грина

Так как то это равенство и доказывает формулу (2).

Из равенства (1), кроме того, следует, что если точка лежит вне поверхности то левая часть равенства (2) обращается в нуль.