3.53. Сохраняемость вихревого движения.
Если а — ускорение, то мы
Вычисляя вихрь и используя формулы (III) п. 2.32 и (II) п. 2.34, получаем
Теперь заметим, что из п. 3.52 следует 
а из формулы (5) п. 3.20 имеем 
Таким образом, используя формулу (9) п. 3.10, находим соотношение
или
Это чисто кинематическое соотношение дает скорость изменения вектора 
Если силы консервативные и давление является функцией плотности, то, применив операцию вихря к обеим частям равенства (2) п. 3.43, получим 
этом случае соотношение (1) примет вид
Это уравнение получено Гельмгольцем.
Для решения этого уравнения используем обозначение 
для V, и, таким образом, применяя формулу (8) п. 2.71, находим уравнение
где 
-вектор частицы в момент 
как показано на рис. 46. Дифференцируя соотношение (9) п. 2.71 по 
получаем уравнение
так как 
Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде
Умножим это соотношение справа на диаду 
и снова используем формулу (9) п. 2.71. Тогда получим равенство
и, следовательно,
где 
и 
— значения 
в момент времени 
Соотношение (6) снова умножим справа на диаду 
и используем формулу (9) п. 2.71. Тогда
Из формулы (6) мы видим, что если 
то 
так что если движение было безвихревым, то оно таким и остается. Следовательно, частица, имеющая вихрь в какой-либо момент времени, будет продолжать иметь вихрь. Таким образом, как вихревое, так и безвихревое движения сохраняются.
Заметим, что это заключение зависит от предположений, которые приводят к уравнению (2): жидкость невязкая, силы консервативные, давление является функцией плотности.
