10.70. Канал с резко изменяющейся шириной.

Рассмотрим изображенный на рис. 186 канал с параллельными стенками и с шириной, резко меняющейся от величины до величины

Если скорость в точке равна то в силу уравнения неразрывности скорость в точке равна

Развернем граничную ломаную на действительную ось плоскости считая, что точки и совпадают и переходят в точку

Пусть точке соответствует точка и точке пусть соответствует точка действительное число а мы определим далее; этому числу нельзя давать произвольное значение, так как значения соответствующие точками и уже были выбраны.

В вершине многоугольника угол равен нулю, поэтому преобразование Шварца-Кристоффеля имеет вид

Далее, поток в плоскости вытекает из источника мощности в точке и втекает в сток мощности в точке

Рис. 186.

Следовательно, в плоскости мы имеем в начале координат сток, который поглощает в единицу времени объем приходящийся на угол . Поэтому мощность стока равна следовательно,

так что Отсюда в силу формулы (1) имеем

Далее, в точке получаем, что если действительная ось параллельна прямой Поэтому

Кроме того, в точке находим, что Поэтому

так что

Для получения явной зависимости между величинами следует проинтегрировать соотношение (1).

Интегрирование упрощается, если положить

отсюда

так что

откуда находим

где произвольная постоянная. Если допустить, что точка соответствует точке то тогда и поэтому Подставив значение в формулу (2), получим

откуда

Исключая переменное из формул (3) и (4), мы получаем связь между величинами

Принцип отражения позволяет, кроме того, применить тот же комплексный потенциал для построения потока, обтекающего бесконечный твердый цилиндр с прямоугольным поперечным сечением, расположенный симметрично между двумя параллельными стенками, как показано на рис. 187.

Рис. 187

Читатель может убедиться, интегрируя выражение вдоль отрезка что сила, действующая на этот отрезок, будет конечной. Это можно сравнить с соответствующим результатом, полученным в конце п. 10.60.