19.81. Пограничный слой.

Известно, что когда жидкость обтекает твердую границу, то уже на небольшом расстоянии от этой границы достигается полная величина местной скорости течения, в то время как в месте соприкосновения со стенкой жидкость обычно предполагается неподвижной. Гипотеза Прандтля о пограничном слое сводится к предположению, что в окрестности твердой границы существует тонкий слой, внутри которого силы вязкости и инерции сравнимы по своей величине, тогда как вне этого слоя влияние вязкости пренебрежимо мало и жидкость ведет себя как среда без трения. Чтобы выяснить, как применение этой гипотезы влияет на уравнения движения вблизи твердой границы, рассмотрим плоское течение, в котором в качестве границы примем ось х (рис. 338).

Рис. 338.

Проведем из точки отрезок, параллельный оси ординат, и отложим в каждой его точке вектор, изображающий составляющую скорости и вдоль оси х в этой точке отрезка. Согласно гипотезе Прандтля, концы этих векторов должны лежать на некоторой кривой, имеющей асимптоту, параллельную

оси ординат. Мы будем считать, что скорость и достигла полной величины скорости течения, если эта скорость становится меньше скорости на некоторую малую фиксированную произвольную величину, выраженную в процентах, например на величину, равную одному проценту. Это условие и определяет толщину пограничного слоя. Можно дать различные подобного типа определения толщины пограничного слоя; каждое из них приводит к своей мере толщины пограничного слоя, но порядок всех этих величин будет одинаков. Очевидно также, что градиент скорости будет очень большим, когда у в пограничном слое меняется от до . С другой стороны, поперечная составляющая скорости будет малой величиной всюду в пограничном слое.

Рассмотрим теперь уравнения движения

Введем переменную определяемую равенством Тогда будет безразмерной переменной, сравнимой по порядку величины с переменной х. Нужно также положить где сравнимо с и. В этих переменных написанные выше уравнения примут вид

Заметим, что в уравнении (1) член пренебрежимо мал по сравнению с другими членами. В то же время надо считать, что последний член этого уравнения, который представляет собой силу трения, имеет такой же порядок, как инерционный член Принимая порядок этого последнего члена за единицу, увидим, чтоу или Таким образом, толщина пограничного слоя пропорциональна корню квадратному из коэффициента кинематической вязкости. Из этого результата следует, что в уравнении (2) все члены, кроме одного, имеют порядок следовательно,

Итак, давление в пограничном слое не зависит от у, и наши уравнения сведутся к уравнению (3) и уравнению

которые вместе с уравнением неразрывности

определяют движение.

Вихрь в пограничном слое равен

Из уравнения (4) можно вывести интегральное соотношение Кармана. С помощью уравнения (5) получим

Проинтегрируем, далее, уравнение (4) от до

Но

Следовательно,

поскольку при

Изучим теперь несжимаемый пограничный слой в случае обтекания плоской пластинки, расположенной острой кромкой к набегающему потоку. Следуя Ламбу, предположим, что распределение скорости подчиняется здесь закону

При таком законе выполняются необходимые условия при при последнее условие вытекает из уравнения (4), потому что если градиент давления равен нулю вне пограничного слоя, то он должен равняться нулю и внутри него. Подстановка выражения (7) в интегральное соотношение (6) для случая установившегося движения дает

откуда получим формулу для толщины пограничного слоя

Сила трения на стенке определяется соотношением

поскольку отсюда, полагая найдем

Таким образом, силу сопротивления (трение жидкости об обе стороны пластинки длиной измеряемой от передней кромки) получим, удваивая написанное выше выражение и интегрируя его от до

где число Рейнольдса.

Полученный здесь коэффициент 1,310 хорошо согласуется с коэффициентом 1,328, найденным Блазиусом без применения интегрального соотношения Кармана и специального предположения (7).

Теория пограничного слоя служит полезным руководством при проведении экспериментальной работы и дает качественное описание вязкого

движения вблизи границы тела, но приложения этой теории носят пока опытный, эмпирический характер.