2.72. Криволинейные ортогональные координаты.

Декартовы координаты точки определяются пересечением трех взаимно перпендикулярных плоскостей Для некоторых задач удобно ввести другие системы координат, например сферические координаты, в которых положение точки определяется пересечением сферы плоскости и конуса (рис. 43), или цилиндрические крординаты, в которых положение точки определяется пересечением двух плоскостей и цилиндра (рис. 44).

Чтобы вывести выражение для оператора в такой системе ортогональных координат, предположим, что координаты точки заданы равенствами

где поверхности взаимно ортогональны.

Рис. 43.

Рис. 44.

Если мы проведем поверхности, соответствующие значениям координат то получим фигуру, которая с точностью до малых первого порядка является параллелепипедом с ребрами (рис. 45), где являются функциями координат и находятся из соотношения

где

и т. д. При этом надо учитывать, что произведения вида пропадают вследствие ортогональности координат.

Пусть через обозначены единичные векторы в направлениях соответствующих возрастанию величин Эти векторы взаимно перпендикулярны и удовлетворяют всем соотношениям, выведенным в п. 2.70 для векторов

Рис. 45.

Тогда, учитывая результаты п. 2.31 для скалярной функции можно записать соотношение

и отсюда, использовав формулу (1) п. 2.15, получим равенство

Таким образом, в криволинейных координатах оператор V имеет вид

Так как единичные векторы сами являются функциями координат, мы должны вычислить выражения вида Чтобы вывести первое из них, заметим, что из формулы (III) п. 2.31 следует равенство из формулы равенство Следовательно, из формулы (VII)

п. 2.34 получим соотношение

Отсюда

Далее, из соотношения (1) п. 2.34 получаем

Следовательно,

Теперь пусть

Тогда из формулы (IV) п. 2.34 следует равенство

Это равенство приводится к виду

Так, еслм то из соотношений (1) и (2) получаем формулу

Далее,

и, следовательно, после преобразования выражение для вихря можно представить в форме определителя

где

Из формул (7) п. п. 2.34 мы получаем следующее выражение для ускорения

Вычислим компоненту ускорения вдоль вектора Мы имеем

Из формулы (1) получим равенство

а из формулы -соотношение

Комбинируя последние три равенства, получаем выражение для компоненты ускорения вдоль вектора в виде

Остальные компоненты ускорения можно выписать, пользуясь правилом симметрии.

Проиллюстрируем полученные результаты на примере сферических координат. В этом случае (см. рис. 43) можем записать равенства

Таким образом, если положить то мы получим

Из равенства (3) следует соотношение

Аналогично для цилиндрических координат

Полагая мы получим Используя формулу (4), получим выражение для вихря в цилиндрических координатах в виде

где индексы обозначают направление соответствующего единичного вектора или компоненту вектора (см. также примеры 16, 17 к гл. 2).