10.20. Теорема Шварца — Кристоффеля.

Пусть представляют собой точек действительной оси плоскости причем

Рис. 176.

Пусть - внутренние углы простого замкнутого многоугольника с n вершинами (рис. 176), при этом

Тогда теорема Шварца — Кристоффеля формулируется следующим образом.

Отображение плоскости на плоскость определяемое соотношением

преобразует действительную ось плоскости в границу замкнутого многоугольника плоскости так, что вершинам многоугольника отвечают точки а внутренними углами многоугольника являются Кроме того, если многоугольник простой, то его внутренняя часть соответствует при этом верхней половине плоскости Постоянная величина К может быть и комплексной.

Доказательство. Доказательство теоремы в основном заключается в установлении следующих утверждений:

1) Когда величина увеличивается, например, от а до то величина описывает прямую линию.

2) Когда величина проходит через точку эта прямая поворачивается на угол

3) Точки, расположенные внутри многоугольника, образованного указанными прямыми, соответствуют точкам, лежащим в верхней половине плоскости

Так как разность С —а обращается в нуль при то производная в этой точке равна нулю или бесконечности (в соответствии с тем, будет ли или Поэтому мы исключаем точки на действительной оси С, проводя около этих, точек, как из центров, полуокружности с малыми радиусами расположенные в верхней полуплоскости

Полуокружность с центром в точке а пересекает действительную ось в точках как показано на рис. 176. Будем предполагать, что точка пробегает действительную ось в направлении возрастания величины (так что величина положительная). При этом точки обходятся по полуокружностям.

Пусть точки илоскости соответствующие точкам Пусть здесь С — действительная положительная константа, — действительное число. Тогда, приравнивая аргументы в левой и правой частях вышеприведенного соотношения, получаем равенство

Когда точка перемещается от точки к точке остается равным нулю; далее, так как величина действительна и положительна; так как все величины действительны и отрицательны.

Таким образом, имеем

Это означает, что остается постоянным, пока точка движется от точки к точке , поэтому точка описывает прямую линию Такие же рассуждения показывают, что если величина увеличивается то

При этом описывает прямую линию Кроме того, значение на прямой превосходит значение на прямой на

величину Таким образом, направление движения точки повернулось на угол в положительном направлении. Итак, утверждения (1) и (2) доказаны. Далее, на полуокружности имеем

Считая радиус малым, с достаточной точностью можем записать соотношение

отсюда

где множитель не зависит от . После интегрирования находим

здесь константа. Кроме того, так как угол является положительным, то мы видим, что когда поэтому точка соответствует точке В, в которой пересекаются линии

Рис. 177.

Таким образом, точка описывает многоугольник, вершины которого соответствуют точкам а внутренние углы равны соответственно. Кроме того, из формулы (2) следует

Таким образом, когда точка описывает полуокружность, причем угол уменьшается от до 0, то значение убывает на величину и поэтому точка опишет дугу окружности с центром в точке В, расположенную внутри многоугольника, если многоугольник простой. Таким образом, точки верхней половины плоскости соответствуют внутренним точкам многоугольника. Итак, утверждение (3) доказано.

Остается рассмотреть, как замыкается многоугольник при изменении величины вдоль действительной оси от до Для этого рассмотрим рис. 177, на котором показана действительная ось плоскости с вырезами только в трех точках а также полуокружность большого радиуса с центром в начале координат. Когда точка перемещается по действительной оси, обходя точки с по полуокружностям, то соответствующая точка плоскости опишет стороны и треугольника с вырезами в точках

На большой полуокружности если радиус достаточно велик, то мы можем с достаточной точностью заменить разности величиной Тогда из уравнения, определяющего преобразование, получаем соотношение, аналогичное формуле (1),

Так как а то получим

отсюда, интегрируя, находим

где константа, к которой стремится точка при . С другой стороны,

Поэтому, когда точка описывает большую полуокружность, угол в изменяется от до , а значение изменяется от к до Таким образом, точка описывает полуокружность малого радиуса с центром в точке как показано на рис. 177. Когда то полуокружность в плоскости стягивается в точку. Мы видим опять, что область внутри треугольника с вырезами преобразуется на верхнюю половину плоскости Интегрируя уравнение преобразования, получаем

где произвольная константа, от которой можно освободиться соответствующим выбором положения начала координат на плоскости

Изменение угла X приводит к изменению ориентации многоугольника, а изменение константы С изменяет масштаб. Отсюда следует, что все многоугольники, соответствующие заданным значениям подобны между собой. В гидродинамических приложениях мы будем иметь дело только с простыми многоугольниками, обычно простирающимися до бесконечности. Три величины с могут быть выбраны произвольно, но так, чтобы они соответствовали трем вершинам заданного многоугольника; остальные величины следует подобрать так, чтобы получился многоугольник правильного вида. Надлежащим подбором констант устанавливаются затем масштаб и ориентация.

Если преобразование дает простой многоугольник, то отображение является конформным, так как в таком случае удовлетворяются условия (а) и (б) п. 5.62 для действительной оси с вырезами, которые можно сделать бесконечно малыми.

Наконец, остается рассмотреть случай, когда вершина многоугольника соответствует бесконечно удаленной точке действительной оси плоскости Если, например, точка то, выбирая константу К, можно написать уравнение, определяющее преобразование, в форме

Когда то тогда это уравнение принимает

Таким образом, множитель, соответствующий в уравнении пропадает и угол а в уравнение не входит.