17.53. Устойчивость, обусловленная вращением.

В случае тела вращения кинетическую энергию можно записать в виде

Если тело имеет скорости то а при рассмотрении малых возмущений величины будут малыми величинами. Далее, имеем

Если пренебречь произведениями малых величин, то уравнения движения по направлению оси х примут вид

Следовательно, с точностью до величин первого порядка .

С той же степенью точности остальные уравнения примут вид

Для того чтобы найти решение этих уравнений, положим Тогда получим четыре следующих уравнения:

Исключение из этих уравнений величин приводит к определителю

Раскрывая этот определитель, получаем

Отсюда получаются два квадратных уравнения для к

Условие устойчивости состоит в том, чтобы к было действительным, так как в этом случае будет периодической функцией и поэтому возмущение, если оно вначале было мало, так и остается малым.

Корни обоих вышенаписанных квадратных уравнений будут действительными, если

т. е. если

Если то это условие удовлетворяется всегда, а для любых это условие удовлетворяется только при достаточно больших значениях .

Известным примером применения рассматриваемого здесь вопроса является устойчивость, которую придает снаряду вращение, сообщаемое нарезкой в стволе орудия.