2.33. Некоторые операции над произведением величин.

Чтобы изучить операции над произведением предположим, что при умножении подчиняются следующему закону:

где порядок сомножителей в каждом из произведении, вообще говоря, существен.

Пусть через обозначены величины функций в точке а через их величины в точке на замкнутой поверхности окружающей

точку Через обозначим вектор единичной нормали к элементу поверхности Тогда можно записать тождества

и, следовательно,

Если теперь мы будем стягивать в точку поверхность, окружающую точку то величины и станут бесконечно малыми и, следовательно, последний интеграл станет бесконечно малой величиной по сравнению с остальными интегралами, поэтому им можно будет пренебречь. Кроме того, значения функций в точке фиксированы, если поверхность замкнутая [см. формулу (3) п. 2.20]. Отсюда следует

учитывая это равенство, мы получаем соотношение

Разделив обе части последнего равенства на величину объема V, ограниченного поверхностью преобразуем это равенство к виду

Если теперь совершим предельный переход то, учитывая определение оператора V, получим равенство где индекс нуль указывает, что соответствующая величина под знаком оператора V считается постоянной. Эту формулу можно сравнить с соответствующей формулой для дифференциального оператора а именно

В атом соотношении индекс нуль опускается, когда он больше не требуется. Последнее свойство вместе со свойством градиента (см. п. 2.23) показывает, что V является обобщенным дифференциальным оператором.