15.32. Движущаяся сфера.

Если сфера движется со скоростью в жидкости, покоящейся в бесконечности, то формулы для потенциала скоростей и функция тока выводятся сразу же из соотношений (1) и (2) п. 15.30 посредством наложения постоянной скорости в положительном направлении оси х, так что получаем

Важно заметить, что эти результаты относятся к началу координат, движущемуся вместе со сферой, так что, даже если константа, то движение не является установившимся.

Кинетическая энергия жидкости, согласно п. 15.31, выражается формулой

где масса жидкости, вытесненной сферой. Таким образом, полная кинетическая энергия системы твердое тело—жидкость равна

где масса сферы. Следовательно, виртуальная масса равна (см. п. 9.221).

Если через обозначить сопротивление жидкости, то, приравнивая скорость изменения кинетической энергии мощности, получим

и, следовательно,

причем сила обращается в нуль, если постоянно (рис. 300).

Если сфера падает под действием силы тяжести в бесконечной жидкости, то силами, действующими на нее, являются вес направленный вертикально вниз, архимедова сила, направленная вертикально вверх,

и сопротивление направленное вверх. Таким образом, получаем уравнение

так что ускорение равно

где s - отношение удельных весов сферы и жидкости.

Этот результат показывает, что влияние жидкости сводится к уменьшению ускорения силы тяжести в отношении В частности, если то сфера поднимается с ускорением, определяемым вышеуказанной формулой. Этот результат имеет очевидное применение к движению воздушного шара.

Рис. 300.

Дарвин показал (см. стр. 237), что исследование, которое привело к формуле (9) п. 9.222, может быть применено к трехмерному телу, движущемуся в направлении оси для присоединенного объема получается соотношение

в котором сначала должно производиться интегрирование по х. Величина присоединенной массы равна

В случае сферы и присоединенная масса, следовательно, равна как получалось выше.