10.60. Бесконечно глубокий поток с уступом на дне.

Пусть имеется вертикальный уступ на горизонтальном дне потока, скорость которого в бесконечности равна (рис. 183).

Рис. 183.

Дно потока является простым многоугольником и, следовательно, может быть отображено на действительную ось плоскости причем так, чтобы точкй перешли соответственно в точки Применяя преобразование Шварца—Кристоффеля, имеем

отсюда

Так как функции и являются многозначными функциями, определим их в различных частях плоскости.

Рис. 184.

На рис. 184 изображена произвольная точка плоскости отстоящая на расстояниях соответственно от точек и этом случае имеем

здесь обозначает арифметический квадратный корень из произведения. Для точек на действительной оси положим Тогда если то мы должны положить Если то поэтому

Кроме того, когда в силу этого

Далее,

Поэтому мы получаем

Если мы положим в точке С, а также в точке В, то получим так что и поэтому

Теперь рассмотрим комплексный потенциал. Равномерный поток в плоскости можно получить, поместив источник в точке и одинаковый по мощности сток в точке А». Таким образом, в плоскости мы должны также иметь источник и сток в соответствующих точках, так что в этой плоскости также будет равномерный поток, скорость которого пусть будет Следовательно, поэтому

Но в бесконечно удаленной точке имеем

Отсюда Таким образом,

Заметим, что в точке В скорость равна бесконечности, а в точке С равна нулю. Более удобная форма решения получится, если положить Тогда имеем

Рис. 185.

Принцип отражения позволяет нам применить тот же комплексный потенциал к потоку бесконечной ширины, обтекающему полубесконечное цилиндрическое тело прямоугольного сечения, изображенное на рис. 185; при этом начало координат расположено в точке С, а действительная ось направлена против течения.

Читатель может убедиться, интегрируя выражение вдоль линии что сила, приходящаяся на единицу длины линии является конечной величиной.