3. Тензор как оператор.

Пусть а — вектор, а некоторая матрица; символом мы будем обозначать тройку чисел образованную по правилу

Тогда имеет место следующая основная теорема. Теорема. Пусть матрица определена в некоторой системе координат; для того чтобы эта матрица была тензором, необходимо и достаточно, чтобы тройка чисел определяемая по формуле , представляла собой вектор, если тройка чисел является вектором.

Доказательство. Для доказательства необходимости предположим, что представляет собой тензор. Обозначим через компоненты тензора и вектора а в новой системе координат. Теперь определим в этой системе координат тройку чисел следующим образом:

Найдем связь между величинами Так как по предположению тензор, вектор, то

Следовательно, соотношение может быть записано в таком виде:

или

но

поэтому

Далее, согласно формуле ,

следовательно,

Таким образом, тройка чисел при переходе от одной системы координат к другой преобразуется по формулам преобразования компонент вектора, т. е. образует вектор.

Для доказательства достаточности возьмем две произвольные системы координат и в этих системах координат определим матрицы Пусть, далее, любому вектору а по формуле ставится в соответствие ветор т. е. его компоненты в новой системе координат связаны с компонентами в старой системе координат формулами

Докажем, что матрица определяет некоторый тензор, т. е. что величины связаны формулами

Так как величины определяются формулами , то равенство может быть записано в виде

Величины связаны формулами

Поэтому соотношение с учетом формулы можно переписать в виде

Но равенство имеет место при любых значениях следовательно,

что и требовалось доказать.

Таким образом, тензор можно рассматривать как оператор, который по определенному закону ставит в соответствие каждому вектору а новый вектор. Кроме того, этот оператор является линейным. Итак, выражение определяет некоторую линейную вектор-функцию вектора а.

Доказанная теорема играет большую роль в механике. В самом деле, согласно этой теореме, линейный оператор, действующий в трехмерном евклидовом векторном пространстве, можно рассматривать как аффинный тензор. Это определение, в свою очередь, удобно тем, что позволяет во многих важных случаях ответить на вопрос, является ли данная физическая величина тензором без проверки выполнения условий (5. Например, в динамике твердого тела вводится матрица моментов инерции

где осевые и центробежные моменты инерции. Составляющие вектора момента количества движения вычисляются по формуле

где компоненты вектора мгновенной угловой скорости. Формула может быть записана более экономно в виде

Равенство показывает, что матрица в любой системе координат ставит в соответствие вектору вектор Следовательно, матрица определяет тензор.

Теперь определим умножение тензора на вектор слева. Равенство

означает, что

Формула (17 показывает, что равенство может быть записано в виде

где транспонированная матрица, для которой

Как следствие доказанной теоремы находим, что если — тензор, то — также тензор.

Рассмотрим теперь произведение диады на вектор. Пользуясь тем, что любая диада есть тензор, найдем компоненты вектора Эти компоненты записываются в виде

т. е.

где обычное скалярное произведение. Аналогично, если обозначить то

т. е.

Пользуясь выведенными формулами, запишем тройное векторное произведение в форме диадного произведения

Легко видеть, что эта запись может быть сделана не единственным способом.