15.54. Функция тока для сжатого эллипсоида.

Сжатый (или дискообразный) эллипсоид представляет собой тело, полученное вращением эллипса относительно его малой оси. Это тело известно также как сплющенный у полюсов сфероид. Приблизительно эту форму имеют планеты Земля и Юпитер. Преобразование

дает следовательно, кривая является эллипсом в меридиональной плоскости с полуосями

Рис. 304.

Таким образом, представляет собой уравнение эллипсоида (рис. 304).

Функция тока удовлетворяет уравнению (см. п. 15.50)

Если эллипсоид движется со скоростью в жидкости, которая покоится в бесконечности, то функция должна удовлетворять следующим условиям:

на твердой поверхности и

в бесконечности.

Условие (3) указывает, что решение должно иметь вид Подстановка в уравнение (2) и интегрирование дают

где константы, причем из условия (4) следует, что .

Теперь с помощью интегрирования по частям или непосредственной проверкой находим

здесь мы полагаем так как другие члены стремятся к нулю при Таким образом, имеем

Чтобы доказать, что при заметим, что для больших значений

Таким образом, условие (4) удовлетворяется.

Для определения постоянного В из (3) находим

Далее,

Последовательно,

Таким образом, окончательно мы получим следующее выражение для функции тока:

Для определения потенциала скорости из п. 15.51 находим

Следовательно, из формулы (5) получим

Заметим, что величина имеет вид Тогда кинетическая энергия и, следовательно, присоединенная масса легко вычисляются по формуле

Обтекание сжатого эллипсоида легко получается путем наложения потока — на найденное выше решение.