14.41. Второе приближение для величины скорости волны.

Рассмотрим для простоты случай глубокой воды; в этом случае комплексный потенциал и профиль поверхности задаются формулами (3) и (4) п. 14.40. Замечаем, что формула (4) получается из равенства (3), если в нем положить но при этом не предполагается, что формула (4) обязательно соответствует поверхности постоянного давления. Для квадрата модуля скорости имеем формулу

Отсюда на свободной поверхности находим соотношение

Если давление в жидкости на свободной поверхности, внешнее давление, то уравнение для давления теперь имеет вид

Если в этих формулах пренебречь членами, содержащими то получим если этот результат был уже получен ранее. Более точное равенство величин и получим, если пренебрежем членами, содержащими которые являются величинами четвертого и более высокого порядка малости. В результате этого свободная поверхность будет поверхностью

постоянного давления, если , откуда получаем

где были опущены члены четвертого порядка малости. Полученное соотношение является более точным приближением для скорости волны. Заметим, что скорость, найденная таким образом, зависит не только от длины волны, но также и от амплитуды.

Максимальная величина первого члена, которым мы пренебрегали в формуле (1), а именно — равна — эта величина является правильной дробью от выражения разности давления между гребнем и впадиной. Таким образом, для волны с амплитудой 4 фута и длиной 80 футов эта дробь равна

Следовательно, давление, которым мы пренебрегаем, самое большее равно вод.