Глава 3. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

3.10. Дифференцирование по времени.

На рис. 46 показана действительная траектория жидкой частицы, находящейся в момент времени в точке А, которая имеет радиус-вектор относительно фиксированной точки О.

В момент времени частица находится в точке в момент она находится в точке радиусами-векторами этих точек являются соответственно. Частицу, расположенную в точке можно охарактеризовать скалярными функциями, такими, как давление и плотность в точке и векторными функциями, такими, как скорость и ускорение в точке

Рис. 46.

Попытаемся получить производные по времени от таких скалярных и векторных функций. Прежде всего заметим, что радиус-вектор отдельной частицы жидкости является функцией только времени так как ясно, что может зависеть только от времени и некоторого фиксированного начального положения, например точки А.

В п. 1.10 было получено равенство

Рассмотрим теперь, например, плотность Для частицы, находящейся в точке плотность зависит только от радиуса-вектора и времени так что

Так как является функцией только от времени то и плотность является функцией только от времени следовательно, мы можем найти полную производную Для ее вычисления воспользуемся следующей формулой из п. 2.71:

и, следовательно,

Первый член в правой части этой формулы представляет собой скорость изменения по времени, если рассматривать как фиксированную точку, второй — скорость изменения в момент времени за счет того, что частица переместилась из точки в точку Поскольку скаляр, то выражение (2) можно записать в виде

Формула (3) определяет скорость изменения плотности при движении частицы жидкости. Если жидкость несжимаема, то плотность частиц жидкости не изменяется, поэтому справедливы равенства

Если плотность постоянна, то уравнение (4) удовлетворяется тождественно.

Применяя подобный вывод к любой скалярной функции а, получим формулу

Чтобы найти скорость изменения вектора а, связанного с частицей, применим соображения, аналогичные соображениям, использованным при выводе соотношения (2); теперь получим формулу

которую нельзя привести к виду (3).

Наиболее важным является случай, когда представляет собой вектор скорости, скорость изменения которого есть ускорение частицы; из формул (IV) п. 2.34 и формулы (6) находим равенство

Применяя это соотношение к случаю прямоугольной декартовой системы координат, получаем равенство

отсюда следует, что соотношение (7) эквивалентно трем уравнениям:

Таким образом, в прямоугольных координатах справедлива следующая формула:

В векторной форме получим формулу

Рассматриваемую здесь операцию иногда называют индивидуальным дифференцированием, подразумевая под этим, что мы вычисляем скорость изменения некоторого количества, связанного с какой-либо движущейся частицей.