16.12. Теорема Кельвина об инверсии гармонической функции.
Если 
гармоническая функция, то функция 
также является гармонической, причем а — любая постоянная.
Доказательство. Положим 
тогда 
По предположению 
удовлетворяет уравнению Лапласа (2) из п. 16.10, и, следовательно, 
удовлетворяет аналогичному уравнению, в котором вместо 
берется 
а именно уравнению
Далее,
и, значит,
Таким образом,
что и требовалось доказать.
Отметим, что точки 
представляют собой точки, связанные преобразованием инверсии относительно сферы 
причем, если одна из них находится внутри сферы, то другая находится вне ее.
