8.63. Теорема Лагалли.

Рассмотрим равномерный поток и источник; комплексный потенциал для потока с компонентами скорости в бесконечности и при наличии источника мощности в точке имеет вид

Если в поток поместить цилиндр, то комплексный потенциал изменится из-за добавления функции, которая должна равняться нулю в бесконечности, так как присутствие цилиндра не может оказывать воздействия на удаленные части жидкости. Для общности предположим, что вокруг цилиндра имеет место циркуляция х. Тогда полный комплексный потенциал на достаточно большом расстоянии от цилиндра имеет вид

причем последние члены выражают наличие циркуляции и возмущение» вносимое цилиндром.

Комплексную скорость запишем следующим образом:

Для нахождения силы, действующей на цилиндр, по теореме Чаплыгина — Блазиуса имеем

Пусть — окружность большого радиуса, содержащая внутри себя цилиндр и источник (рис. 155). По методу п. 5.54 мы можем расширить контур цилиндра до 5 и, таким образом, написать

где у— малый контур, проведенный вокруг источника.

Рис. 155.

Поэтому находим

Далее, на окружности в силу того, что велик, мы можем разложить по степеням Следовательно, из формулы (2) получим

а отсюда

где некоторые константы. Таким образом теореме о вычетах находим

Для вычисления второго интеграла в формуле (3) мы заметим, что, согласно формуле (2),

где

Следовательно, функция представляет собой комплексную скорость, полученную при исключении источника из первоначального комплексного потенциала; функция аналитична внутри контура у. Далее имеем

По теореме Тейлора находим

Отсюда вычет выражения в точке равен Испольауя еще раз теорему о вычетах, из формул (3) и (4) получаем

Здесь величина является комплексной скоростью в точке а, «индуцированной» той частью комплексного потенциала, которая остается после удаления источника мощности Таким образом, обозначая эту «индуцированную» скорость через мы окончательно получаем

Эта формула выражает теорему Лагаллн, которую можно распространять на любое число источников, добавляя каждый раз член такого же вяда, как последний член в формуле (7). Чтобы найти соответствующее выражение для момента имеем

Вычислив вычеты по предыдущей формуле, получим

Момент является действительной частью этого выражения. Теорема Лагалли принимает интересную форму в случае, когда поток и циркуляция отсутствуют, так что поле источника находится только один цилиндр. В этом случае формула (7) принимает вид

в то время как выражение, определяющее момент

показывает, что является моментом силы действующей в точке а. Следовательно, на цилиндр действует сила по линии, проходящей через источник и в том же направлении, что и скорость, индуцированная в источнике.

Таким образом, мы получили следующую теорему. Теорема. Источник мощности при наличии цилиндра действуем на цилиндр с комплексной силой линия действия которой проходит через источник, где комплексная скорость, индуцированная той частью комплексного потенциала, которая остается после удаления источника.

Когда имеется несколько источников, то каждому из них соответствует своя сила (9) со своей линией действия). Эту теорему мы можем применить сразу же для нахождения силы, действующей на круглый цилиндр от источника.

Таким образом, в обозначениях п. 8.62 имеем

Отсюда находим

следовательно,

как это уже было получено ранее.