14.81. Вид свободной поверхности.

При исследовании вида кривых постоянного давления из уравнения (1) следует, что х и у являются периодическими функциями времени причем их период равен

Если сохранять величины фиксированными, то значения у повторяются, когда а увеличивается на в то время как х получает линейный сдвиг на величину

Рис. 281.

Таким образом, наибольшего значения величина у достигает в точках, находящихся на расстоянии Рассматривая одно из этих наибольших значений у, мы видим, что с увеличением времени требуется меньшее значение величины а, чтобы сохранить постоянным фазовый угол Таким образом, профили поверхностей равного давления движутся в отрицательном направлении оси х со скоростью, равной частному от деления длины волны на период т. е. со скоростью с. Если мы каждой частице сообщим скорость с противоположного направления, то движение станет установившимся и профили останутся неподвижными. Если написать то уравнение профилей поверхностей равного давления будет иметь вид

Эти кривые являются трохоидами, которые описывает точка, находящаяся на расстоянии от центра круга радиуса катящегося по нижней стороне линии (рис. 281).

Если на свободной поверхности то соответствующий профиль будет иметь вид циклоиды. Кривые равного давления изображены на рис. 282. Любая из них может быть взята в качестве профиля свободной поверхности. Предельная форма кривых — циклоида с остриями, направленными вверх в точках возврата. Вертикальные линии показывают невозмущенные положения столбов воды.

Чтобы найти средний уровень соответствующий любой трохоиде, т. е. уровень, относительно которого одинаковое количество жидкости как

возвышается, так и понижается, мы замечаем, что интеграл, взятый по длине волны равен нулю. Таким образом, имеем

что

Таким образом, средний уровень расположен ниже траектории центра производящего круга на величину

При движении вниз расстояние рассматриваемой нами точки от центра производящего круга уменьшается.

Рис. 282.

Для прогрессивной волны кинетическая энергия (приходящаяся на единицу толщины) находится интегрированием по длине волны кинетической энергии элементарной массы определяемой частицей жидкости Из формул (1) и (2) п. 14.80 имеем

Отсюда если для определения свободной поверхности положить то кинетическая энергия будет равна

Положим так что высота гребня над впадиной. Тогда получим формулу для кинетической энергии, приходящейся на длину волны, в виде

Что касается потенциальной энергии прогрессивной волны или установившегося обтекания профиля, то, считая средний уровень известной величиной и используя формулу (1), получим

Но из формулы (5) п. 14.80 следует и поэтому

Равенство мы будем использовать для того, чтобы дать интуитивную интерпретацию групповой скорости.

Частицы жидкости описывают окружности с постоянной скоростью, и давление в окрестности частицы одинаково при любом ее положении на орбите. Рассмотрим теперь какую-либо частицу, орбита которой пересекает неподвижную вертикальную плоскость в точках как изображено на рис. 283. Поток кинетической энергии (или работа сил давления в единицу времени) через эту плоскость за один период равен нулю, так как то количество жидкости, которое перешло слева направо в точке А, вернулось обратно справа налево в точке В. С другой стороны, поток потенциальной энергии не равен нулю, так как потенциальная энергия, отнесенная к единице массы в точке А, превышает потенциальную энергию в точке В на величину Ясно, что потенциальная энергия движется вместе с волной, т. е. со скоростью с. Но потенциальная энергия равна половине полной энергии. Следовательно, полная энергия переносится со скоростью т. е. с групповой скоростью.

Рис. 283.

Для доказательства того, что движение вихревое, заметим, что скалярное произведение скорости и радиуса-вектора и равняется действительной части от выражения

Из формулы (2) п. 14.80 имеем

где Таким образом,

Это выражение не является полным дифференциалом, и, следовательно, рассматриваемое движение вихревое. Циркуляция в элементарном параллелограмме жидкости получается из второго члена в правой части написанного выше выражения (так как первый член есть точный дифференциал) и поэтому равна

Разделив эту величину на площадь параллелограмма, получим интенсивность вихря

Отрицательный знак указывает на то, что вихрь имеет направление, противоположное вращению частиц по их круговым орбитам.

Интенсивность вихря быстро уменьшается с глубиной.