3.43. Консервативные силы.

Для консервативных сил, т. е. имеющих потенциал можно написать равенство Таким образом, если

давление является функцией плотности так, что существует, то из формулы (5) п. 2.31 получим соотношение

и, следовательно, так как величина произвольна, то

Тогда уравнение движения (1) п. 3.41 принимает форму

откуда следует, что ускорение есть градиент потенциала ускорения

Далее, замечая, что вихрь выражается равенством уравнение (2) п. 3.41 можно записать в виде

где явно выделен вектор вихря.

Кроме того, формулу (1) п. 3.41 можно написать в виде

в то время как из уравнения неразрывности (4) п. 3.40 следует

Складывая два последних равенства и используя формулу п. 2.34, мы получаем уравнение

где I — единичный тензор.

В прямоугольной декартовой системе координат уравнение (2) эквивалентно следующей системе трех уравнений:

Если так что являются компонентами вихря, то уравнение (3) эквивалентно следующей системе:

где

Читатель мог бы проверить, что уравнения (5) и (6) эквивалентны. Вышеуказанный результат иллюстрирует, как векторные обозначения сокращают выкладки и делают результаты легко обозримыми.

Если то течение в этом случае называется течением Бельтрами; соответствующее уравнение движения получается из уравнения (3) в виде

Если вихрь отличен от нуля, то условие показывает, что вихревые линии и линии тока совпадают. Если то мы имеем важный случай безвихревого движения, которое является также течением Бельтрами и для которого выполняется уравнение (7).

В случае несжимаемой жидкости заменяется в вышеуказанных уравнениях величиной

Полученные выше уравнения известны как уравнения движения в форме Эйлера. В этом случае рассматривается отдельная точка в пространстве. В течение времени эту точку занимает последовательно непрерывный ряд частиц жидкости; величины независимые переменные.