8.24. Эквивалентный слой диполей по Грину.

Рассмотрим безвихревое движение жидкости в области ограниченной контуром С (см. рис. 88). Пусть движение жидкости задано комплексным потенциалом аналитическим во всей области. Это условие исключает особенности и циркуляцию. Тогда по формуле Коши из п. 5.59 имеем

смотря по тому, будет ли внутри или вне области

Если обозначает элемент дуги С, проведенный в положительном направлении обхода, то мы можем написать следовательно, для точки области формула (1) запишется в виде

где

Это уравнение определяет действительное положительное число и угол Заметим теперь, что является комплексным потенциалом в точке для диполя мощности расположенного в точке ось которого имеет направление Следовательно, формула (2) показывает, что комплексный потенциал можно рассматривать как непрерывное распределение диполей вдоль контура при этом плотность распределения на единицу длины дуги дается формулой (3). Это распределение известно как эквивалентный слой диполей по Грину. Относительно другого вида эквивалентного слоя, также данного Грином, см. п. 13.64.

Заметим, что если точка находится вне области то скорость, обусловленная распределением, равна нулю, поскольку, как это видно из формулы (1), тогда является коистаитой, а именно нулем.

Если область двусвязная (как на рис. 161), то мы можем сделать ее односвязной, проводя воображаемый барьер Тогда можно применить предыдущие соображения, если, кроме того, поместить диполи с каждой стороны барьера