5.70. Конформное отображение.

Пусть взаимно однозначное и непрерывное отображение некоторой области плоскости на область плоскости определяется формулой

Пусть значения изображаются точками плоскости и пусть соответствующие значения представляются точками плоскости (рис. 97). Тогда имеем

Рис. 97.

Если предположить разности малыми, то приближенно получим

и, следовательно,

Таким образом, приравнивая модули и аргументы обеих частей последнего равенства, находим соотношения

Отсюда

и, следовательно,

Равенства геометрически означают, что треугольники подобны, так что бесконечно малый треугольник плоскости отображается в подобный ему бесконечно малый треугольник плоскости Таким образом, рассматриваемое отображение сохраняет:

а) углы

б) подобие соответствующих бесконечно малых треугольников. Благодаря этим свойствам отображение, определяемое формулой (1), называют конформным отображением.

Соотношение (3) дает масштаб отображения в точке Этот масштаб является функцией т. е. изменяется от точки к точке. Иллюстрация конформного отображения дается обычной картой в проекции Меркатора. Хорошо известно, что угол между двумя линиями, измеренный на карте, равен углу пересечения двух соответствующих линий на земной поверхности; именно благодаря этому свойству карта полезна в навигации.

В частности, линии на карте, представляющие меридианы и параллели, перпендикулярны друг другу. Если мы рассмотрим малый участок карты, то установим, что расстояния, измеряемые на карте, представляют в измененном масштабе соответствующие расстояния на земном шаре, этот масштаб изменяется с увеличением широты.

Из формулы (3) можно получить также отношение соответствующих величин малых площадей в следующем виде:

где комплексная сопряженная функция для функции Для иллюстрации последнего соотношения предположим, что

Тогда

и