ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
До недавнего времени динамика идеальной жидкости рассматривалась как академический раздел науки, не имеющий практического приложения, ввиду больших расхождений между результатами расчетов и наблюдений. Однако окончательное признание того, что теория циркуляции в идеальной жидкости, предложенная Ланчестером, объясняет подъемную силу крыла, а также гипотеза Прандтля о возможности пренебречь вязкостью вне пограничного слоя дали новый толчок в развитии этой области науки, которая всегда была необходима кораблестроителям-проектировщикам и которая вышла на передовые позиции в связи с появлением современных самолетов.
Исследование движения жидкости естественно распадается на две части: (I) экспериментальная, или практическая часть; (II) теоретическая часть, которая стремится объяснить характер экспериментальных результатов и, кроме того, пытается предсказать ход эксперимента. Таким образом, практическая и теоретическая части взаимно дополняют друг друга; настоящая книга посвящена теоретической части.
Когда научная теория становится более точной, тогда по необходимости она принимает более математическую форму. Это утверждение не следует понимать так, что форма становится более сложной и более трудной для понимания, но скорее так, что основные законы получают ясную формулировку и нужные выводы делаются точными математическими методами.
В основу этой книги легли лекции автора по гидродинамике, которые были прочитаны в Гринвиче для младших подразделений Королевского корпуса инженеров-кораблестроителей. Цель книги — дать полное, ясное и методическое введение к математической теории движения жидкости, которое будет полезно для применения как в гидродинамике, так и в аэродинамике.
Автор решился радикально отклониться от традиций и полностью основать изложение на применении векторного анализа и его естественной модификации для случая двух измерений — теории функций комплексного переменного. Применение этих методов в гидродинамике не является само по себе новостью, но, насколько известно автору, попыток такого исключительно широкого их применения в гидродинамике до сих пор не было. Предварительные математические знания, требуемые от читателя, не выходят за пределы обычного курса математического анализа. Необходимый дополнительный математический аппарат вводится в книге по мере надобности, и тем самым предпринята попытка сделать книгу в пом отношении разумно независимой. Так как мы имеем дело с описанием реальной действительности (хотя и в идеализированной форме), то в книге широко применяются рисунки, число которых превышает 360.
Последовательность расположения глав является результатом попытки дать рациональную классификацию излагаемого материала. Несомненно, эта последовательность не является единственно возможной, но, как нам кажется, она имеет некоторые преимущества. Глава 1 носит вводный характер и посвящена главным образом выводам, основанным на знаменитом уравнении Д. Бернулли, который по праву может считаться отцом гидродинамики.
В главе 2 описываются те свойства векторов, которые важны при изучении движения частиц жидкости и при рассмотрении гидродинамических уравнений. Векторы вводятся здесь независимо от выбора системы координат. Основные свойства векторных операций выводятся операторным методом, который в изложенной здесь форме легко применяется и непосредственно приводит к теоремам Стокса, Гаусса и Грина. Так как эта книга посвящена гидродинамике, а не векторам, то теория последних излагается кратко. С другой стороны, при изложении этой теории имелось в виду помочь читателям, незнакомым с действиями над векторами; читателю рекомендуется полностью и детально изучить содержание этой главы, что необходимо в силу большого числа ссылок на нее. Этот труд хорошо вознаграждается при стремлении понять физическую сторону рассматриваемых явлений, которая особенно неясна при использовании специальных систем координат. В главе 3 общие свойства движения непрерывной жидкой среды, динамические уравнения, давление, энергия и вихри изучаются в свете векторных формулировок, преимущество которых вполне очевидно.
В главе 4 описываются те существенные свойства двумерного движения, которые можно рассматривать, не применяя комплексного переменного. Содержание главы 5 отклоняется от темы книги — в ней вводится комплексное переменное, определяемое как векторный оператор, и доказываются некоторые теоремы, применяемые впоследствии. В частности, здесь рассматриваются свойства конформного отображения с некоторыми подробностями ввиду их существенного значения для дальнейшего изложения.
Главы 6—14 образуют законченное целое; в них делается попытка дать подробное описание двумерного движения с единой точки зрения функций комплексного переменного; при этом широко применяется конформное отображение, теорема Чаплыгина — Блазиуса и ее обобщения. В главе 6 исследуются потенциальные течения; в главе 7 рассматривается простое крыло Чуковского, глава 8 посвящена источникам и стокам. В главе 9 подробно рассматривается движение цилиндра и дается обобщение теоремы Кутта — Жуковского, охватывающее случай ускоренного движения (п. 9.53). Глава 10 содержит изложение теоремы Шварца — Кристоффеля о конформном отображении и ее некоторые непосредственные приложения; в главах 11, 12 даются дальнейшие приложения с целью изучения прерывных течений с отрывом струй и образованием каверн в потоке за цилиндром, сюда включено также описание изящного метода Леви-Чивита. Глава 13 посвящена рассмотрению прямолинейных вихрей, вихревой дорожки Кармана и сопротивлению, вызванному вихревым следом за телом. В главе 14 рассматривается двумерное волновое движение жидкости.
В главе 15 вводится функция тока Стокса и дается приложение конформного отображения к трехмерным задачам с осевой симметрией. Движение сфер и эллипсоидов в жидкости рассматривается в главе 16. В главе 17 частное дифференцирование по вектору (п. 2.71) применяется для получения уравнений Кирхгофа в векторной форме; таким образом шесть уравнений заменяются двумя. По-видимому, этот метод является новым и удобным при исследовании вопросов устойчивости.
В главе 18 рассматривается общее вихревое движение с частным приложением к крылу конечного размаха. Глава 19 содержит описание приложения некторного метода к течению вязкой жидкости и краткое изложение теории пограничного слоя. Интересно отметить, как просто могут быть получены компоненты напряжений в вязкой жидкости в произвольной системе координат с помощью векторного метода (п. 19.41).
Глава 20 служит введением в теорию течения сжимаемой жидкости при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях. Источник в сжимаемой жидкости рассмотрен в п. 8.90, а вихрь — в п. 13.80.
В книге имеется всего 569 примеров, приведенных в конце каждой главы. Некоторые из примеров очень легки, другие весьма трудны и могут рассматриваться как дополнения к тексту.
Формулируя теорему, я по мере возможности связывал с ней имя ее автора, как достаточное указание на ее происхождение, но не следует думать, что приводимая формулировка теоремы совпадает с той, которая была дана первоначально. Например, Гаусс мог бы рассматривать свою теорему в п. 2.60 как завуалированную с помощью аллегории и иллюстрированную символами. Библиографические ссылки были сделаны попутно там, где они казались полезными и уместными, но не было предпринято попытки их систематизировать.
Хороший прием, оказанный этой работе, поощрил меня к ее усовершенствованию. Помимо значительных изменений в расположении материала и новых методов изложения, это четвертое издание отличается от третьего несколькими важными добавлениями; даны формулы Племеля для решения некоторых задач (п. 5.592); систематически изложена теория движения тяжелой жидкости со свободной поверхностью, включая соответствующий новый метод, впервые здесь публикуемый (пп. 11.60-11.64); дано изложение точной теории поверхностных волн постоянной формы (п. 14.84) и так называемой «точной линеаризированной теории», вытекающей из предыдущей; описаны некоторые теоремы сравнения, включая теорему сравнения Серрина при наложении течений. Эти теоремы имеют важные приложения и заслуживают того, чтобы их извлечь из журналов, где они были первоначально опубликованы.
США, Висконсин, май 1959 г., Л. М. Мили-Томсон
