20.71. Теорема единственности.

Рассмотрим установившееся адиабатическое плоское сверхзвуковое течение.

Определение. Криволинейный многоугольник, образованный дугами, каждая из которых является либо линией Маха, либо линией тока, либо звуковой линией называется характеристическим многоугольником.

Рассмотрим границу между областью, где движение (определяемое скоростью, плотностью или давлением и энтропией) равномерно, и областью, где нет линий, на которых нормальные производные некоторого порядка разрывны. Такая граница должна быть характеристической ломаной.

Рис. 365.

Далее, если заданы два течения, которые не имеют конечных разрывов скорости, плотности и энтропии, одинаковы в какой-либо одной области, но различаются в другой, то границей этих областей должна быть характеристическая ломаная.

Определение. Обыкновенной линией называется некоторая кривая, которая не пересекает какую-либо линию Маха или какую-либо линию тока более чем в одной точке.

На обыкновенной линии уравнения движения позволяют определить величины нормальных производных любого порядка от для любого произвольного непрерывного распределения самих этих величин на этой линии.

Теорема единственности. Состояние сверхзвукового течения (т. е. значения переменных ) вдоль некоторой дуги обыкновенной линии определяет единственным образом поле течения внутри достаточно малого характеристического многоугольника, который содержит дугу

Доказательство. Рассмотрим два течения которые имеют одинаковые состояния движения (т. е. одинаковые величины ) вдоль дуги некоторой обыкновенной линии.

Из определения обыкновенной линии следует, что для течений переменные можно разложить в окрестности линии в один и тот же ряд Тейлора. Следовательно, течения будут одинаковыми в малой конечной области, содержащей Но любую такую область можно расширить до некоторого характеристического многоугольника, что и требовалось доказать.

Теорема единственности утверждает, что состояние движения на линии определяет единственным образом течение внутри четырёхугольника Маха (рис. 365), ограниченного парой линий Маха, проходящих через точку и парой линий Маха, проходящих через точку при этом предполагается, что здесь не встречаются звуковые линии.