7.31. Геометрическое построение преобразования.

Пусть точка С — центр данной окружности, пересекающей действительную ось в точках где (рис. 129).

Рис. 129.

Пусть любая точка данной окружности и пусть точка ее инверсия относительно окружности радиуса I с центром в точке О, т. е.

причем точка лежит на отрезке

Пусть продолжение отрезка пересекает окружность в точке проведем отрезок параллельно до пересечения с прямой в точке С. Сначала докажем, что геометрическое место точек является кругом с центром в точке С.

Доказательство. Так как и хорды круга, пересекающиеся в точке О, то

Если разделить формулу (1) на формулу (2), то получим равенство

Теперь видим, что треугольники подобны, так как стороны и параллельны. Следовательно,

Таким образом, отношение есть величина постоянная. Отсюда следует, что точка -фиксированная точка.

Поскольку есть радиус данного круга и отношение константа, то отрезок имеет постоянную длину.

Таким образом, точка описывает окружность с центром в точке С.

В силу того что точка В является инверсией самой себя и, следовательно, геометрическое место точек также проходит через точку В.

Так как

то треугольники и подобны и расположены подобно. Отсюда

следует, что стороны и параллельны и поэтому

Таким образом, стороны и образуют одинаковые углы с действительной осью. Следовательно, если мы зеркально отразим окружность, являющуюся геометрическим местом точек относительно действительной оси, то мы получим такую же окружность, центр которой лежит в точке и которая проходит через точку В (рис. 130). Это и есть искомая окружность — геометрическое место точек являющихся зеркальными отражениями точек

Так как точка В находится на линии центров то две окружности должны коснуться в точке В.

Так как стороны и образуют одинаковые углы с осью и так как отрезок является зеркальным отражением отрезка то отсюда следует, что отрезки и образуют одинаковые углы с осью Это замечание дает нам возможность найти точку и провести без каких-либо затруднений окружность. Теперь остается построить, согласно п. 7.30, точку представляющую искомое преобразование

Рис. 130.

Рис. 131.

На рис. 131 показан профиль крыла, полученный путем построения радиусов-векторов через интервалы в 30°. На профиле крыла и на окружности имеется одинаковое число соответствующих точек.

Профили, полученные таким построением, известны как профили Жуковского. Они имеют затупленную переднюю кромку и острую заднюю кромку, соответствующую точке В на окружности.