20.60. Ударные волны.

Если метод решения, развитый в п. 20.50 для расчета обтекания выпуклой стенки, попытаться применить для случая вогнутой стенки, то можно обнаружить, что здесь линии Маха имеют огибающую (рис. 356).

Рис. 356.

Это обстоятельство повлекло бы за собой математически неопределимое состояние течения, когда скорость газа определялась бы неединственным образом. Такое состояние физически невозможно. Экспериментальные наблюдения показывают, что в этом случае возникает ударная волна (скачок уплотнения), которая начинается в точке возврата огибающей и проходит между двумя ее ветвями. При пересечении этой линии нормальная составляющая скорости скачкообразно уменьшается, а плотность, давление, температура

и энтропия скачкообразно увеличиваются. На рис. 357 изображены течение со скачком уплотнения и течение разрежения, имеющие место при обтекании плоского профиля

Здесь прямая линия тока подходит к профилю в точке В, а прямая линия тока сходит с него в точке С.

Рис. 357.

На верхней поверхности у излома имеется течение разрежения в котором набегающий поток разворачивается так, что становится параллельным Затем поток обтекает вогнутый излом и проходит через скачок уплотнения возникающий в точке С. Аналогично на нижней поверхности имеют место скачок уплотнения в точке В и течение разрежения в точке С.

Рис. 358.

Рассмотрим прямолинейную стационарную ударную волну, которая образуется при обтекании тупого угла (рис. 358).

Пусть индекс относится к условиям перед скачком уплотнения а индекс — к условиям за этим скачком, так что является скоростью набегающего потока, скоростью потока, отклонившегося после прохода через скачок. Пусть скачок составляет угол а с направлением скорости Обозначим через составляющие скоростей и перпендикулярные к 5. Возьмем элемент скачка и рассмотрим условия до и после него. Согласно уравнению неразрывности, поток массы при переходе через скачок должен сохраняться, т. е.

Поскольку сила давления действует по нормали к то при переходе через скачок также сохранится поток количества движения в направлении,

параллельном Следовательно,

Разность сил давления на элементе скачка должна равняться изменению нормальной составляющей потока количества движения при переходе через Следовательно,

Уравнения представляют собой обычные законы сохранения механики. Четвертое соотношение получим, применяя закон сохранения энергии и рассматривая при этом также и тепловую энергию.

Если внутренняя энергия, приходящаяся на единицу массы воздуха, то полная энергия на единицу массы будет равна Приравняем поток энергии и работу в единицу времени, совершаемую силами давления. Тогда

Отсюда с учетом уравнения (1) получим

С помощью формулы (14) п. 20.01 находим

Согласно уравнению Бернулли, каждое из первых двух слагаемых в уравнении (4) равняется соответствующей величине Из этого следует, что не изменяется при переходе через скачок.

Уравнение (4) имеет такую же форму, что и уравнение Бернулли, но состояние газа, характеризующееся параметрами и соответствует здесь различным значениям энтропии. Таким образом, уравнение (4) не может быть выведено из закона для изэнтропического течения, на котором основано уравнение Бернулли. Увеличение энтропии определяется по формуле (11) п. 20.01 в виде

Из уравнений (1) и (2) следует, что касательная составляющая скорости, параллельная фронту скачка, при переходе через скачок не изменяется. Обозначив эту составляющую скорости через из соотношения (4) находим равенства

С помощью этих равенств заменим в уравнении (3) и исключим далее посредством соотношения (1). Тогда после простых преобразований получим следующее соотношение, принадлежащее Прандтлю:

При выводе соотношения (5) использована формула (4) п. 20.42.

Замечая, что легко преобразуем уравнения к следующей системе:

причем последнее из этих уравнений получено путем возведения в квадрат обеих частей равенства (6), делением их на два и вычитанием этого результата из равенства (4). Полагая

после некоторых простых преобразований находим из уравнений (1) и (6) равенство

из уравнений (1) и (3) находим равенство

и из уравнений (8) и (10) находим равенство

Из равенств можно вычислить если заданы

Рис. 359.

Из формулы (11) также следует уравнение

которое определяет кривую Гюгонио; эта кривая, построенная в координатах представляет собой равнобочную гиперболу (рис. 359). При имеем

причем для воздуха Таким образом, в воздушной ударной волне при максимально возможном сжатии начальная плотность воздуха возрастает только в шесть раз. На рис. 359 пунктирной кривой изображена адиабата При уравнение (11) переходит в дифференциальное уравнение адиабаты Кривая Гюгонио и адиабата касаются друг друга в начальной точке Отношение следовательно, температура при движении по кривой Гюгонио растут быстрее, чем при движении по адиабате.

В заключение отметим, что перед рассмотренным здесь скачком должен иметь место сверхзвуковой поток. За скачком же течение может быть как сверхзвуковым, так и дозвуковым. При переходе через скачок происходит уменьшение нормальной составляющей скорости, а касательная составляющая скорости остается при этом неизменной. Поэтому при переходе через скачок скорость отклоняется в сторону фронта скачка. Если скачок наклонен под достаточно малым углом к направлению набегающего потока, то течение за скачком может быть сверхзвуковым.