18.40. Осесимметричные движения.

Когда движение симметрично относительно оси х, вихревые линии должны быть окружностями, центры которых лежат на этой оси и плоскости которых перпендикулярны ей. Такие движения удобно рассматривать с помощью функции тока Стокса, существование которой не зависит от того, является ли движение безвихревым или нет.

Для того чтобы получить выражение для функции тока, рассмотрим в некоторой меридиональной плоскости точку с координатами Проведем через точку в плоскости, перпендикулярной к оси х, окружность с центром в точке (рис. 329).

Пусть В — векторный потенциал в точке Поскольку и поскольку составляющие лежат в меридиональной плоскости, то очевидно, что вектор В должен быть перпендикулярен к этой меридиональной плоскости.

Рис. 329.

Из симметрии следует также, что векторный потенциал В имеет одну и ту же величину В в каждой точке проведенной окружности. Так как поток вектора скорости через круг радиуса со равен циркуляции вектора В по этой окружности (см. п. 18.21), то этот поток составляет Если принять, что направление вихря на некоторой вихревой линии С и направление оси х связаны правилом правого винта, то указанный поток будет направлен слева направо. Таким образом, если функция тока, то

Это выражение дает функцию тока через величину векторного потенциала.