15.60. Теоремы сравнения.

Рассмотрим безвихревой поток невязкой несжимаемой жидкости, ограниченной линиями тока, в некоторой области плоскости . В области нет ни источников, ни стоков.

Плоскость может быть плоскостью двумерного потока или меридиональной плоскостью осесимметричного потока, при этом ось х является осью симметрии.

Скорость течения справа налево через элемент нормали к линии тока равна где или смотря по тому — плоский поток или осесимметричный, так что величина всегда положительна (рис. 306).

Заштрихованная область ограничена двумя непересекающимися линиями тока, каждая из которых имеет при концевые точки.

Точку границы будем называть регулярной точкой, если она не лежит на оси (в случае осесимметричного потока), а находится на окружности некоторого круга, касающегося границы в точке и внутренняя область которого целиком лежит в области

Рис. 306.

Функция тока удовлетворяет дифференциальному уравнению

Это уравнение эллиптического типа, и для его решения справедлив принцип максимума; а именно: если величина не константа, то она не может иметь ни максимума, ни минимума внутри области определения.

Физически это означает, что наличие такого внутреннего максимума или минимума привело бы к внутренней завихренности, что противоречит гипотезе безвихревого потока.

Таким образом, если равно нулю на одной границе и положительной константе на другой, то во всей области между границами.

Теорема сравнения 1. Пусть узкие длинные области, ограниченные соответственно линиями тока и пусть область содержится в области Пусть два различных осесимметричных потока в областях определены функциями тока так что

где положительная константа; т. е. два потока имеют один и тот же расход. Предполагается, что эти потоки не накладываются друг на друга.

Если регулярная точка, принадлежащая и если какая-либо регулярная точка на то тогда для скоростей в точках двух потоков имеем

для удовлетворения обоим неравенствам необходимо и достаточно, чтобы было

Доказательство. Пусть и предположим, что основное течение направлено справа налево, как показано на рис. 306. На линии у имеем

на линии имеем

Согласно принципу максимума, если на у, то во всей области

Если на то во всей области

В точке имеем следовательно, т. е. или

В точке имеем следовательно, т. е.

Это доказывает теорему для плоского или осесимметричного потока, для которого или причем обе эти величины положительные. Ясно, что для удовлетворения обоим равенствам мы должны иметь

Если будем удалять в бесконечность, так чтобы бесконечно увеличивалось, то получим на в каждом ее положении, так что в пределе на бесконечности будем иметь

Второе заключение относительно скорости потока в точке теряет смысл, а первое остается в виде следующей теоремы.

Теорема сравнения 2. Пусть области, занятые двумя плоскими (или осесимметричными) потоками, имеющими одинаковую ненулевую постоянную скорость в бесконечности. Пусть области ограничены единственными линиями тока , простирающимися до значений Если область является частью области и если линии имеют общую регулярную точку то скорости в точке удовлетворяют неравенству

Равенство имеет место только в том случае, если и оба потока идентичны.

Эти теоремы первоначально были доказаны Лаврентьевым, а затем в более развернутой форме были даны Гилбаргом. Теорема сравнения Серрина.

Пусть — две области, занимаемые плоскими или осесимметричными безвихревыми потоками, и пусть соответствующие линии тока Предполагаем, что в каждом потоке Пусть имеют общую дугу так что каждый поток на дуге имеет направление от к Далее, предположим, что дуги линии и линии имеющие только общую точку вместе с ограничивают область

внутреннюю относительно Пусть регулярные граничные точки и пусть граничная скорость в точке для потока и аналогично для других точек. Тогда получим

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда потоки геометрически подобны.

Доказательство. На рис. 307 изображен тот случай, когда находится на конечном расстоянии и в бесконечности.

Если потоки подобны, то в теореме, очевидно, имеет место равенство.

Рис. 307.

Пусть соответствующие функции тока и пусть точка на линии Пусть

Если элемент нормали в точке проведенный в сторону потока, то

Таким образом, линия начинается в точке в которой (рис. 308).

Рассмотрим область ограниченную линиями На имеем

Рис. 308.

Согласно принципу максимума, либо в области либо в области Должно иметь место последнее условие. Следовательно, т. е.

Точно так же в области ограниченной линиями находим, что или

Из неравенств (6) и (7) немедленно следует утверждение теоремы.

Мы предлагаем читателю доказать, что плоская линия проходит через точку

ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 15

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)