14.88. Плоские волны в цилиндрической трубе.

Пусть -длина трубы, поперечным сечением которой может быть любая плоская кривая и образующие которой параллельны оси х. Будем искать периодические решения в виде стоячих волн. Для этого предположим, что Тогда подстановка в уравнение

дает

Таким образом, находим

Концы трубы могут быть открыты или закрыты. У закрытого конца скорость частиц обращается в нуль, т. е. . У открытого конца, сообщающегося с внешним воздухом под давлением должно приближенно удовлетворяться условие если диаметр трубы мал по сравнению с длиной волны. Таким образом, у открытого конца

Если труба закрыта на концах при то из формулы (1) мы получим

Последнее условие дает

следовательно, периоды равны

и

где принимает любое из вышеуказанных значений.

Эти решения можно сложить, так что в результате найдем

Первый из этих членов называется главным, или основным, тоном, другие называются обертонами. Частота основного тона равна Скорость у каждого конца обращается в нуль, если труба издает основной тон. Кроме того, скорость частиц может обращаться в нуль в других точках, если колебание газа содержит обертоны. Такие точки называются узлами, в то время как точки с максимальной скоростью для данного значения называются пучностями, если использовать терминологию волн на воде. В пучностях давление постоянно, в то время как в узлах оно одинаково для данного значения

Для трубы, закрытой с одного конца, скажем, при и открытой с другого, мы снова имеем но поскольку обращается в нуль при то мы получаем Таким образом,

а частота главного тона равна Открытый конец является пучностью.

Для трубы, открытой с обоих концов, мы получаем так что частоты получаются такие же, как если бы оба конца были закрыты, но только открытые концы являются теперь пучностями.