20.80. Течения, зависящие от времени.
Рассмотрим некоторое течение, зависящее от времени 
и от одной пространственной координаты 
расстояния от фиксированного начала координат.
Рис. 366.
Обозначим через 
скорость в направлении возрастания 
Тогда уравнения движения и неразрывности примут вид
где 
для одномерного течения (например, течение вдоль трубы); 
для двумерного течения с круговой симметрией (например, плоский источник) и 
для трехмерного течения со сферической симметрией (например, случай пространственного источника). Сделав замену переменных (предложенную Риманом)
получим
Тогда уравнения (1) и (2) можно записать так:
Сложение и вычитание этих уравнений дает
Как и в п. 20.70, представим себе, что плоскость 
покрыта двумя семействами ортогональных кривых 
Пусть 
являются соответственно элементами дуг кривых 
в точке 
и пусть касательная в точке 
к кривой С образует угол а с осью 
(рис. 366). Тогда
и, следовательно,
Таким образом, уравнение (4) эквивалентно уравнению
Это уравнение не позволяет определить нормальную производную 
если направление кривой С выбрать так, чтобы вдоль С выполнялось уравнение
или
Тогда наше уравнение примет вид
Итак, в плоскости 
разрывы нормальной производной от функции со 
перемещаются в направлении, нормальном к кривым С, со скоростью 
определяемой формулой (6). Это означает, что в физической плоскости эти разрывы распространяются со скоростью 
т. е. относительно газа со скоростью с. Следовательно, в соответствии с определением из п. 20.41 характеристиками здесь будут точки окружности или сферы в соответствии с 
Аналогичное исследование, проведенное с уравнением (5), показывает, что разрывы нормальной производной от функции 
перемещаются со скоростью 
. Это определяет второе семейство характеристик.
Из формул (3) видно, что полученные выше результаты имеют место всегда, когда величина 
является положительной. Следовательно, в рассматриваемом случае характеристики существуют как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом течении.
В случае одномерного течения из уравнения (4) и (5) сразу же получим результаты Римана, а именно: 1) величина 
остается постоянной для некоторой геометрической точки, движущейся со скоростью 
величина 
остается постоянной для некоторой геометрической точки, движущейся со скоростью 
. В дозвуковом течении эти две скорости имеют противоположное, а в сверхзвуковом течении — одинаковое направление.
ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 20
(см. скан)
