6.33. Применение эллиптических координат к изучению обтекания эллипса.
Комплексный потенциал обтекания эллипса был найден в п. 6.31. Если мы положим 
то получим 
и отсюда найдем равенства
Кроме того, из формулы (6) п. 6.32 следует, что на эллипсе 
имеют место соотношения
Следовательно,
или
Мы получили выражение для комплексного потенциала обтекания эллипса в эллиптических координатах.
Если положить 
то получим соотношение
т. е. 
Таким образом, эллипс 
образует часть линии тока 
которая является, следовательно, разветвляющейся линией тока.
Из равенства (1) следует, что функция тока имеет вид
Отсюда следует, что вся разветвляющаяся линия тока задается уравнениями
т. е. уравнениями
Рис. 113.
Последние значения 
соответствуют ветвям гиперболы, конфокальной с эллипсом, и, следовательно, пересекающей эллипс под прямым углом.
Линия, параллельная направлению потока на бесконечности и проходящая через точку О, является асимптотой к этой гиперболе.
Общий вид линий тока исследуемого течения показан на рис. 113. Асимптота для разветвляющейся линии тока проведена штриховой линией. Разветвляющаяся линия тока пересекает эллипс в точках 
которые являются, следовательно, критическими точками. В этих точках 
на поверхности эллиптического цилиндра действует пара сил, стремящаяся поставить цилиндр поперек потока. Мы вычислим величину этой пары сил в п. 6.42.
Для определения скорости мы имеем формулу
и, следовательно, в критических точках
откуда следует, что равенства 
или а 
дают нам точки 
найденные уже из уравнения разветвляющейся линии тока. Кроме того,
Так как 
только в фокусе эллипса, отсюда следует, что знаменатель последнего выражения не может обращаться в нуль и, следовательно, скорость жидкости нигде не обращается в бесконечность.
Распределение давления по поверхности эллиптического цилиндра находится по уравнению Бернулли, которое имеет следующий вид:
где через 
обозначено давление на бесконечности. Условие 
дает соотношение для определения точек, в которых давление достигает максимума и минимума, а именно
или
Корни уравнения 
определяют координаты точек, в которых давление максимально. Точки, в которых давление минимально, находятся, следовательно, из уравнения
Отсюда с использованием результатов п. 6.32 получаем
Если через 
обозначить точку, определяемую этим уравнением, то последний результат означает, что касательная к поверхности эллипса в точке 
параллельна нормали к поверхности в критической точке.
Если значение 
подставить в уравнение (2), то после некоторых преобразований получим величину минимального давления
Условие отсутствия кавитации, следовательно, имеет вид
