3.75. Среднее значение потенциала скоростей в перифрактической области.

Область называется перифрактической, если она изнутри ограничивается одной или более замкнутыми поверхностями. Например, такова область, занятая жидкостью, в которую целиком погружено твердое тело.

Рассмотрим жидкость, покоящуюся в бесконечности и ограниченную изнутри замкнутой поверхностью и не ограниченную снаружи. Опишем сферу 2 достаточно большого радиуса с центром в точке окружающую поверхность Если движение жидкости безвихревое, то применение теоремы Гаусса к перифрактической области, заключенной между , приводит к соотношению

Рис. 60.

Следовательно, так как на , то получим равенство

где поток внутри рассматриваемой области через внутреннюю границу поверхности

Теперь где — телесный угол с вершиной в точке опирающийся на элемент Следовательно, вышеуказанный результат можно записать в виде

Но если среднее значение на сфере , то

и, значит,

где С не зависит от Покажем теперь, что С также не зависит от положения центра сферы . Для этого переместим центр на расстояние сохраняя постоянным. Тогда

Так как, по предположению, в бесконечности, то, делая достаточно большим, мы сможем сделать сколь угодно малым, так чтобы Таким образом, С не изменяется, если центр сферы переместить при условии, что поверхность всегда находится внутри сферы.

В том случае, когда поверхность является поверхностью твердого тела, сквозь него нет потока жидкости, так что следовательно, среднее значение на любой сфере, окружающей твердое тело, постоянно и равно С.

Теперь докажем, что значение когда точка . В самом деле, применяя результаты п. 2.63 к области между и 2, получаем соотношение

В силу формул (1) и (2) последний интеграл равен

Следовательно, получим равенство

Если теперь положим, что то величина и производная от этой величины по стремятся к нулю, и, значит, если точка то