2.70. Декартовы координаты.
Если выбраны три взаимно перпендикулярные оси 
и три единичных вектора 
параллельные этим осям, то любой вектор а может быть выражен через свои компоненты 
вдоль осей координат в виде
Так как векторы 
к взаимно перпендикулярны, то их скалярные произведения выражаются равенствами
а векторные произведения этих векторов — равенствами
Взяв второй вектор 
мы получим для скалярного произведения векторов 
выражение
Векторное произведение этих векторов записывается в виде
Векторное произведение можно записать более удобно в виде определителя
При такой форме записи легко видеть, что векторы 
а имеют противоположные знаки, так как второй вектор получается из первого перестановкой двух последних строк в определителе; вследствие этого определитель меняет знак, но абсолютная величина его не изменяется.
Если 
— скалярная функция, то мы можем доказать с помощью формул п. 2.22 равенство
а из формулы (1) п. 2.15 получить следующее соотношение:
которое после простых преобразований принимает вид
так что векторный оператор V может быть записан следующим образом:
Если мы применим оператор 
к вектору 
компоненты которого вдоль наших осей равны 
, то получим равенство
откуда после перемножения скобок найдем соотношение
Применяя эту операцию к вектору 
мы получим выражение для оператора Лапласа в виде
Аналогично
Последнее соотношение мы можем также записать символически следующим образом:
Чтобы найти выражение 
в декартовых координатах, заметим, что если
то
и, следовательно,
Наконец,
Приведенные выше соотношения в декартовых координатах показывают, насколько компактнее и удобнее использование векторных обозначений, не зависящих от системы координат. Векторные методы являются мощным средством для получения общих теорем и позволяют сразу выяснить их внутреннее содержание. Но для того чтобы исследовать частную задачу и получить числовые результаты, почти всегда необходимо на некотором этапе вводить систему координат. Ясно, что часто бывает полезно вводить систему координат в самом конце решения задачи.
