5.13. Теорема Эйлера.
Эта теорема выражается формулой
Определим число 
путем подстановки 
в ряд для показательной функции
отсюда следует, что
Кроме того,
Таким образом, линейное дифференциальное уравнение
имеет два решения
каждое из которых обращается в единицу при 
Следовательно, эти решения тождественны. Таким образом,
Поэтому комплексное число 
можно выразить в форме
где 
— полярные координаты точки 
(рис. 80).
В этих обозначениях 
называется модулем комплексного числа 
что можно записать в виде
Модуль комплексного числа измеряет расстояние изображающей точки от начала координат. Таким образом, он является существенно положительной величиной. Важно отметить, что 
если 
- действительная величина. Это сразу же следует из формулы (1).
Угол 
называется аргументом комплексной величины 
Следовательно,
Кроме того, если 
то 
Следовательно,
При использовании этого результата важно помнить, что 
определяется с точностью до числа, кратного 
так как
и
Отметим также, что
Таким образом,
