19.21. Диссипация энергии.

Рассмотрим поверхность 2, которая движется с жидкостью и, значит, все время содержит внутри себя одни и те же частицы жидкости. Кинетическая и внутренняя энергии жидкости, заключенной внутри 2, будут равны

где интегралы берутся по объему V, ограниченному поверхностью 2. Здесь - внутренняя энергия, отнесенная к единице массы (см. пп. 1.60 и 20.01).

Скорость изменения во времени величин Та и У в соответствии с формулой (2) из п. 3.20 будет равна

где а представляет собой ускорение, которое определяется уравнением движения (1) из п. 19.03

Для общности рассуждений введем второй коэффициент вязкости X, связанный с модулем всестороннего сжатия х (объемным модулем упругости, см. теорию упругости) соотношением

Если то имеем случай, рассмотренный в п. 19.02. Далее, введем тензор скоростей деформации определяемый так:

Отметим, что первый скалярный инвариант этого тензора (см. п. 2.16) будет равен

В этих обозначениях тензор напряжений (5) из п. 19.02 примет обобщенный вид

Тогда будем иметь следующее уравнение баланса энергии. Изменение в единицу времени кинетической и внутренней энергии равняется сумме работы в единицу времени сил напряжения на границе 2, работы в единицу времени внешних сил, приложенных к телу, и количества тепла, подводимого в единицу времени:

Здесь количество тепла, которое подводится в единицу времени к единице объема, например, за счет теплопроводности через поверхность 2 или за счет излучения от источников, находящихся вне объема

Если воспользоваться равенствами (1) и теоремой Гаусса, то уравнению (7) можно придать вид

но

Если подставить это соотношение в уравнение (8) и учесть уравнение (2), то получим

Поскольку объем, по которому мы интегрируем, является произвольным, то подинтегральная функция должна обращаться в нуль и, следовательно,

Но, в соответствии с формулой (4)

причем тензор, стоящий в скобках, является антисимметричным, тогда как тензоры являются симметричными. Поэтому, согласно п. 2.16,

следовательно, уравнение (10) примет вид

Если — абсолютная температура, — энтропия, то по формулам (4) и (9) из п. 20.01 будем иметь

Величина представляет собой приток тепла в единицу времени на единицу массы жидкости; тогда приток тепла в единицу времени на единицу объема жидкости будет равен

поскольку по формуле (5) из Таким образом, равенства (11) и (13) дают приток тепла в единицу времени на единицу объема

Но есть количество тепла, которое подводится в единицу времени за счет теплопроводности и других внешних факторов. Следовательно, величина

представляет собой приток тепла в элементе жидкости в единицу времени на единицу объема за счет других форм энергии. Значит, является скоростью диссипации энергии, обусловленной внутренним трением, и по этой причине указанная величина называется диссипативной функцией.

Воспользуемся теперь равенством (6) и заметим, что тогда

Для сферически симметричного растяжения или сжатия член в квадратных скобках обращается в нуль. Последний же член в выражении (16) обращается в нуль, когда

Для несжимаемой жидкости в любом случае, поэтому здесь х не будет входить ни в выражение (16), ни в выражение (6).

Для газа и вопрос о том, равно ли х нулю, остается открытым

Если воспользоваться формулой, приведенной в примечании к п. 19.02, то в декартовых координатах можно записать следующее равенство:

Тогда

Это выражение является существенно положительным и может обращаться в нуль лишь в том случае, когда жидкость движется подобно твердому телу, так как при этом Заметим, что для несжимаемой жидкости

Аналогичным путем можно установить, что в случае несжимаемой жидкости, заключенной в неподвижной замкнутой оболочке скорость диссипации энергии будет равна

Но на неподвижной поверхности следовательно,

и можно считать, что энергия рассеивается со скоростью на единицу объема.