19.02. Гипотеза вязкости.

В случае вязкой жидкости, т. е. жидкости, подверженной внутреннему трению, напряжение на элементе поверхности жидкой частицы не обязательно нормально к таким образом, тензор напряжений (если допустить, что он существует) будет иметь вид

где тензор обладает сферической симметрией, как и в случае отсутствия вязкости, а тензор зависит непосредственно от вязкости. Тогда напряжение на элементе, будет равно

В п. 2.40 движение жидкой частицы было разложено на движение этой частицы как единого целого, подобно движению твердого тела, и на движение со скоростью чистого растяжения, в котором направление движения в каждой точке частицы нормально к некоторой поверхности второго порядка. Вязкость можно рассматривать как свойство, которое проявляется в виде действия сил, имеющих характер трения, на поверхности жидкой частицы, окруженной жидкостью. Ясно, что движение, подобное движению твердого тела, не вызывает относительных перемещений частиц и поэтому не может влиять на создание сил, имеющих характер трения. Поэтому в качестве естественной

гипотезы следует полагать, что напряжение в выражении (2) обусловлено только чистым растяжением.

Рассмотрим сферическую частицу с центром и бесконечно малым радиусом (рис. 334).

Рис. 334.

Если единичная внешняя нормаль к площадке поверхности частицы, то чистое растяжение заставляет площадку перемещаться относительно центра сферы со следующей скоростью (см. п. 2.40):

Гипотеза вязкости состоит в том, что напряжение пропорционально или, точнее,

где называется коэффициентом вязкости. Физическая размерность выражается через размерности массы, длины и времени следующим образом:

Далее, из п. 2.16 имеем

Здесь есть диадное произведение, сопряженное с диадным произведением

Тогда из равенства (3) следует, что

и тензор напряжений (1) принимает вид

Теперь определим давление как скалярный инвариант этого тензора напряжений (см. п. 19.01), а именно

Наконец, представим тензор напряжений в виде симметричного тензора

Таким образом, напряжение на площадке будет равно

где вихрь.

По принятой гипотезе напряжение является линейной функцией от направления нормали к площадке, на которой, как мы предполагаем, это напряжение действует. Выбирая на поверхности сферы различные элементарные площадки, получим соответствующие вязкие напряжения. Для невязкой жидкости Когда жидкость покоится, то . В обоих этих случаях вязкое напряжение обращается в нуль. Вообще говоря, допустимость применения принятой выше гипотезы требует исследования передачи количества движения, обусловленного случайным движением молекул, которому в конце концов напряжение и обязано своим существованием. Однако обращение к такого рода исследованию выходит за рамки этой книги, поэтому мы просто будем предполагать, что действие внутреннего трения в жидкости описывается тензором напряжений (5).