9.65. Эллиптический цилиндр.

Если единичная окружность в комплексной плоскости задана уравнением то преобразование

конформно отображает область, внешнюю к границе С, заданной уравнением

где

на область, внешнюю к единичной окружности, причем так, что бесконечно удаленная точка переходит в бесконечно удаленную точку. Ясно, что кривая С является эллипсом с осями Эксцентрический угол точки равен Заметим, что только в точке

которая лежит внутри единичной окружности, так что отображение внешней области всюду конформно.

Граничная функция в данном случае имеет вид

откуда следует, что

Таким образом, согласно формуле (8) п. 9.63, течение описывается комплексным потенциалом

где вследствие формул (3)

Если то мы снова получаем движение кругового цилиндра.

Кинетическая энергия жидкости (приходящаяся на единицу толщины) дается интегралом (п. 9.10)

который берется по эллипсу С. Отсюда

или

Если (цилиндр вращается вокруг неподвижной оси), то

т. е. кинетическая энергия остается одинаковой для всех софокусных эллипсов. В частности, последнее равенство дает кинетическую энергию жидкости в случае, когда эллипс вырождается в прямую линию, соединяющую фокусы. Тогда мы имеем случай вращающейся пластинки, однако скорость на концах пластинки обращается в бесконечность, так что это решение не может быть непосредственно применено к реальной жидкости.

Рис. 170.

Случай вращающейся пластинки имеет особый интерес. Для такой пластинки мы имеем поэтому длина пластинки, согласно формуле (3), равна Таким образом, из формулы (4) видно, что Чтобы найти линии тока относительно пластинки, наложим на движение угловую скорость , добавив к величине функцию Полученная в результате функция тока относительного движения имеет вид

Линиями тока относительно пластинки являются линии На самой пластинке так как пластинка отображается в окружность единичного радиуса. Поэтому на пластинке Следовательно, разветвляющаяся линия тока в относительном движении задается уравнением которое можно привести к виду

Первый множитель дает окружность, т. е. вращающуюся пластинку, а оставшаяся часть разветвляющейся линии тока описывается уравнением

Эта линия тока подходит к пластинке в точках т. е. поэтому рис. 170 эти точки обозначены буквами а концы

пластинки — буквами Пластинка вращается против часовой стрелки.

Кривая (7) пересекает ось в точке, где величина становится чисто мнимой, т. е. откуда На рис. 170 эти точки обозначены буквами Таким образом, вместе с пластинкой разветвляющаяся линия тока образует две замкнутые петли, обозначенные на рисунке и

Жидкость не может выйтн из этих петель и должна по необходимости вращаться вместе с вращающейся пластинкой, причем распределение скорости соответствует условию потенциальности движения. Внутри этих петель существуют относительные критические точки (они получаются из условия Эти точки лежат на оси у на расстоянии, равном с с от центра пластины. Частицы в этих точках движутся так, как если бы они были жестко связаны с пластиной. На рис. 170 штриховые линии показывают относительные траектории других частиц.

Относительное движение частиц происходит по часовой стрелке, т. е. против направления вращения пластинки. В действительности относительная угловая скорость радиуса, проведенного из центра пластинки к жидкой частице, меньше так что существует общий дрейф жидкости против часовой стрелки, приводящий к появлению вращательной присоединенной массы (см. пример 8 к гл. 9).

Задачи, связанные с эллиптическими цилиндрами, могут быть также решены прямым методом, изложенным в п. 6.35. Так, если цилиндр движется поступательно со скоростью то на границе мы имеем условие

записанное в эллиптических координатах. Следовательно, мы должны положить

функцию надо выбрать так, чтобы на границе она обращалась в действительную функцию и чтобы когда Если эллипс определен уравнением т. е. на границе то легко видеть, что функцию можно взять в виде

откуда

Подобно этому для вращающегося эллиптического цилиндра на границе имеем

Аналогичным образом можно получить, что

В общем случае если на границе является мнимой частью комплексного потенциала , где бесконечности, то при условии, что функция на бесконечности.