3.77. Теоремы единственности.
Докажем теперь некоторые теоремы, касающиеся ациклического безвихревого движения жидкости. Доказательства основываются на следующей эквивалентности выражений для кинетической энергии:
где объемный интеграл берется по всему объему жидкости, а поверхностный интеграл берется по всей границе.
(I) Ациклическое безвихревое движение невозможно в жидкости, целиком ограниченной неподвижными твердыми стенками.
Так как 
в каждой точке границы, то, следовательно, 
Так как 
не может быть отрицательно, то 
повсюду и жидкость находится в покое.
(II) Ациклическое безвихревое движение жидкости, ограниченной твердыми стенками, мгновенно прекратится, если стенки привести в состояние покоя.
Это утверждение является непосредственным следствием теоремы (I).
(III) Не может быть двух различных форм ациклического безвихревого движения ограниченной массы жидкости, в которой границы имеют заданные скорости.
Пусть, если это возможно, 
являются потенциалами скоростей двух различных движений, удовлетворяющими условию 
в каждой точке границы.
Тогда функция 
является решением уравнения Лапласа и поэтому представляет возможное безвихревое движение, при котором
Следовательно, как и в случае 
в каждой точке и, значит, 
так что движения жидкости по существу одинаковы.
Эта теорема показывает, что безвихревое движение определяется единственным образом, если заданы граничные условия.
(IV) Если данные импульсивные давления прикладываются к границам ограниченной массы жидкости, находящейся в покое, то результирующее движение, если оно ациклическое и безвихревое, определяется единственным образом.
Пусть функции 
потенциалы скоростей двух различных возможных движений жидкости. Импульсивное давление, создающее первое движение, равно 
импульсивное давление, создающее второе движение, равно 
и так как импульсивные давления задаются на границах, то
в каждой точке границы.
Следовательно, 
потенциал скоростей возможного безвихревого движения, такой, что 
в каждой точке границы. Таким образом, из формулы (1) вытекает, что 
в каждой точке жидкости. Отсюда следует, что разность 
и поэтому движения по существу одинаковы.
(V) Ациклическое безвихревое движение невозможно в жидкости, которая покоится в бесконечности, а изнутри ограничена неподвижными твердыми стенками.
Так как жидкость покоится в бесконечности и нет течения через внутренние границы, то кинетическая энергия по-прежнему задается формулой (1) (см. п. 3.76) и доказательство, следовательно, такое же, как в случае (I).
(VI) Ациклическое безвихревое движение жидкости, покоящейся в бесконечности и ограниченное изнутри твердыми стенками, мгновенно прекращается, если остановить границы.
Это непосредственно следует из теоремы 
(VII) Ациклическое безвихревое движение жидкости, покоящейся в бесконечности, обусловленное заданным движением погруженного твердого тела, определяется движением твердого тела единственным образом.
Пусть 
потенциалы скоростей двух различных движений. Граничные условия таковы:
Таким образом, 
потенциал скоростей возможного движения, такой, что 
на поверхности твердого тела, 
в бесконечности. Из формулы (1) тогда следует, что 
повсюду, так что 
и оба движения по существу одинаковы.
(VIII) Если жидкость в бесконечности движется с постоянной скоростью, то ациклическое безвихревое движение, обусловленное заданным движением погруженного твердого тела, определяется движением твердого тела единственным образом.
Кинематические условия не изменяются, если мы наложим на всю систему твердое тело—жидкость скорость, равную по величине и противоположную по направлению скорости в бесконечности. Это приведет жидкость к состоянию покоя в бесконечности. Тогда результирующее движение определяется теоремой 
Возвращаясь к исходному движению, нужно добавить всей системе скорость, равную по величине и направлению заданной скорости в бесконечности.
ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ 3
(см. скан)
