19.70. Векторная циркуляция.

Пусть С — некоторая кривая в плоскости, в которой происходит двумерног движение, и пусть к — единичный

вектор нормали к этой плоскости. Обозначим

Если С является замкнутой кривой, ограничивающей область то скалярная величина К будет представлять собой циркуляцию вдоль этой кривой (см. п. 2.42) и по теореме Стокса

Если, как это обычно делается в случае плоского движения, рассматривать слой жидкости единичной толщины, то величину можно назвать векторной величиной вихря в объеме цилиндра единичной толщины. Тогда, поскольку циркуляция К будет скалярной величиной вихря в объеме 2 цилиндра единичной толщины.

В более общем случае определение (1) можно распространить на незамкнутую кривую С (плоскую или пространственную), определяя циркуляцию по этой кривой С как скаляр

Рассмотрим теперь вектор

где интеграл берется по поверхности Если является замкнутой поверхностью, которая ограничивает объем V, то по теореме Гаусса, рассматривая как внешнюю нормаль, получаем

Таким образом, является мерой (векторной) величины вихря в объеме Остается только в качестве простого упражнения показать, что для рассмотренного плоского движения, в котором через теперь обозначим всю поверхность цилиндра с основанием 2, будем иметь

Определение. Вектор определенный формулой (2), называется векторной циркуляцией по замкнутой или незамкнутой поверхности

Для векторной циркуляции по замкнутой поверхности имеется еще другое полезное выражение, а именно

Доказательство. Если X — любая непрерывная функция от радиуса-вектора точки, то из теоремы Стокса следует, что

так как любая замкнутая кривая С, проведенная на поверхности делит ее на две части каждая из которых ограничена кривой С, а поверхностные интегралы по этим частям поверхности равны контурным интегралам, которые берутся по С в противоположных направлениях и поэтому уничтожаются при сложении.

Применяя диадные обозначения и формулу (2) из п. 2.71, показывающую, что единичный тензор будем иметь

Результат (4) получится, если проинтегрировать последнее равенство по и воспользоваться формулой (5), где надо положить

Следствие. Для безвихревого движения и поэтому

Важно отметить, что приведенное выше доказательство построено так, что оно позволяет избежать рассмотрения объемных интегралов и при вычислении интеграла в выражении (4) не интересоваться тем, что происходит внутри поверхности Единственное ограничение при выводе формулы (4) накладывается равенством (5), которое требует, чтобы X было ограниченной, однозначной и непрерывной функцией.

В случае замкнутой поверхности движущейся с жидкостью, из выражения (3) и уравнения неразрывности в форме получим скорость изменения циркуляции

причем здесь была использована формула (2) из п. 3.53. Но, согласно формуле из п. 2.34,

поскольку поэтому

Отсюда следует, что циркуляция остается постоянной на замкнутой поверхности, образованной вихревыми линиями, как, например, в случае сферического вихря Хилла (см. п. 18.51).