14.60. Длинные волны.
Факты, которые были рассмотрены в предыдущих пунктах, относились к поверхностным волнам любой длины. Теперь мы рассмотрим волны, длина которых велика по сравнению с глубиной воды.
Рис. 276.
Таким образом, для воды глубины 
содержащейся в горизонтальном канале, сделаем предположение, что отношение 
мало (где К — длина волны). Указанные выше ограничения относительно малости поверхностного возвышения и наклона волны, конечно, остаются в силе. В данном случае это означает, что величины 
малы (рис. 276).
В силу предположений теории длинных волн уравнение распространения (5) п. 14.13 упрощается, и поэтому можно легко получить общее решение. В самом деле, если 
комплексный потенциал, то мы имеем
и, следовательно, пренебрегая членами, содержащими 
уравнение для 
запишем в виде
Как и прежде, 
должно быть действительным на действительной оси 
Для решения этого уравнения введем обозначение 
и положим 
Тогда
следовательно, уравнение (1) приводится к виду
После интегрирования получим
где 
произвольная функция от 
Интегрируя еще раз, получим 
где 
произвольная функция от 
следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид
где аналитические функции 
могут быть выбраны произвольно при единственном условии, чтобы величина 
была действительной при 
Сравнивая действительные и мнимые части, из формулы (2) получим для потенциала скорости и функции тока следующие выражения:
Поскольку величина 
действительна при 
то
По теореме Маклорена имеем
Так как у изменяется от 
до 
то второй член бесконечно мал по сравнению с первым. Следовательно, мы можем положить 
и отсюда
С помощью тех же соображений из формулы (4) с учетом соотношения (5) получаем 
Таким образом, формула (7) дает полное решение задачи теории длинных волн.
Из формулы (7) следует, что все частицы, находящиеся в одной и той же вертикальной плоскости, имеют одинаковую горизонтальную скорость, равную — 
следовательно, остаются в вертикальной плоскости. Кроме того, из формулы (6) имеем
Так как первый член в правой части последнего равенства представляет собой вертикальную скорость на дне, которая равна нулю, то, следовательно, вертикальная скорость есть величина второго порядка малости и пропорциональна высоте над дном.
