11.62. Установившийся поток со свободной поверхностью.

Зафиксируем оси Пусть пусть комплексный потенциал -Пусть свободная поверхность является линией тока так что на свободной поверхности

Следовательно, на свободной поверхности мы имеем

Учитывая, что давление постоянно на свободной поверхности, по теореме Бернулли получаем

где потенциал силы тяжести, V — постоянная, имеющая размерность скорости. Подбирая подходящим образом начало отсчета, мы можем всегда

добиться того, чтобы постоянная V была положительна. Из уравнения (3) находим

Пусть компонентами силы тяжести являются Тогда

это выражение равно когда и равно когда

Пусть а обозначает фиксированную (характерную) длину, введем безразмерные величины определяемые формулами

Тогда уравнение (4) можно записать в виде

Здесь - число Фруда (ср. п. 12.10), которое обращается в бесконечность при Уравнение (5) при этом приводится к виду

Дифференцируя его по получаем

В связи с этим замечаем, что на свободной поверхности величины связаны функциональной зависимостью и, следовательно, величина определяемая формулой (8), есть функция от т. е.

Далее, исключая из формул (7) и (9), получим

Это уравнение определяет как аналитическую функцию от Следовательно, поскольку на свободной поверхности, где удовлетворяется соотношение (11), то мы имеем уравнение

Это уравнение определяет как функции от и содержит произвольную аналитическую функцию которая принимает действительное значение при

Заметим, что функция вначале не известна, так как она может быть определена из соотношения (8) только в том случае, если определено функциональное соотношение между

Если мы зададим вид функции или то мы сможем найти соответствующий поток. Это соображение принадлежит Сотро.

Если обозначить штрихами дифференцирование по то уравнение (12) может быть записано в виде уравнения

которое также равносильно соотношению (11) на свободной поверхности.

При т. е. в том случае, когда ось у направлена вертикально вверх, имеем

Если то величина равна бесконечности и уравнение (14) принимает вид

Следовательно, это уравнение может быть использовано для определения всех потоков со свободными линиями тока, если гравитационное поле отсутствует.

Решая уравнение (14) относительно получаем

Так как то мы найдем величины как действительную и мнимую части выражения, стоящего в правой части формулы (16).

Интегрируя выражение, стоящее в формуле (16), находим

Если в формуле (17) положить то получим уравнение линии тока при этом выражаются в зависимости от параметра Для тех значений при которых подкоренное выражение отрицательно, мы получим так что часть линии тока будет состоять из вертикальной линии, которую можно заменить твердой стенкой или границей. Следовательно, свободная линия тока будет соответствовать тому случаю, когда подкоренное выражение положительно. Учитывая также уравнение (7), в котором выражение, стоящее в левой части, обязательно положительно, мы увидим, что на свободной линии тока выполняется условие

Таким образом, это неравенство ограничивает область значений соответствующих точкам на свободной линии тока.

Пример I. Имеем

Тогда из формулы (17) находим

Линия тока определяется из уравнения

где для корня мы выбрали отрицательный знак.

Подкоренное выражение имеет отрицательный знак для значений лежащих в интервале Для значений вне этого интервала имеем Таким образом, линия частично состоит из вертикальной стенки. Если то, полагая получаем

Здесь постоянная С произвольна, однако будет удобно (но не обязательно) придать ей значение Тогда мы получим

Это уравнение является уравнением циклоиды, точками возврата которой являются точки а вершина циклоиды находится в точке .

Из уравнения (16) при имеем

Таким образом, Если то следовательно, Это означает, что вершиной циклоиды является критическая точка. Когда величина изменяется до 0, то величина и положительна, в то время как при изменении величины от до 0, величина — отрицательна. Таким образом, циклоида описывается в противоположном направлении, когда частица движется от вершины к точкам возврата; фактически поток симметричен относительно вертикали

Следовательно, используя эту симметрию, мы получаем поток, изображенный на рис. 205.

Рис. 205.

Для внутренних линий тока имеет место соотношение

которое сводится к равенству когда Из формулы (23) получаем равенство

которое определяет линии тока . В частности, либо при (только что рассмотренный случай), либо при

Таким образом, поток является периодическим повторением потока, изображенного на рис. 205. Пример II. Имеем

В этом случае сила тяжести отсутствует; таким образом, мы получаем поток через отверстие, который был рассмотрен в п. 11.53.

Уравнение (13) в данном случае примет вид

Полагая здесь и затем решая полученное уравнение относительно производной, получаем

где взято положительное значение корня.

Если то выражение, стоящее в правой части, действительно, и так как то Это означает, что имеется твердая стенка, параллельная оси х, с которой при подходящем выборе начала координат она будет совпадать. При положим

тогда уравнение (26) принимает вид

В результате интегрирования получим

где произвольная постоянная взята равной Отсюда находим свободную линию тока в виде

Если в уравнении (25) мы напишем вместо то получим в гору свободную линию тока, для которой формула (27) приводится к виду Для получения уравнения мы просто изменим знак у величины в формуле (28). Так как то для второй свободной линии тока мы получаем следующую формулу

Вторая свободная линия тока является зеркальным отражением линии, определяемой формулой (27), относительно оси у.

Построенный поток изображен на рис. 201, но здесь начало координат расположено посредине между точками

Ширина отверстия в наших безразмерных координатах равна а ширина струи в бесконечности равна Следовательно, коэффициент сжатия равен