3.20. Уравнение неразрывности.

Если мы рассмотрим частицу жидкости бесконечно малого объема с плотностью в момент времени то масса этой частицы не может измениться при движении и, следовательно, можно записать уравнение

Это уравнение — одна из форм уравнения неразрывности, или уравнения сохранения массы. Если объем увеличивается, то плотность уменьшается, и наоборот; таким образом, уравнение (1) всегда удовлетворяется.

Пусть через X обозначено какое-либо свойство, присущее единице массы и переносимое частицей жидкости при движении. Тогда для объема V, движущегося с жидкостью, т. е. состоящего всегда из одних и тех же частиц жидкости, получим равенство

Другая точка зрения состоит в следующем. Рассмотрим фиксированную замкнутую поверхность целиком лежащую в жидкости (рис. 47). Если обозначает единичный вектор внутренней нормали к элементу то количество жидкости, втекающей в единицу времени через границу в объем, заключенный внутри поверхности выражается в виде интеграла

Рис. 47.

Масса жидкости, содержащаяся в объеме V, ограниченном поверхностью равна интегралу

Если предположить, что внутри поверхности нет источников и стоков жидкости, то масса может увеличиваться только благодаря потоку через границу. Приравнивая выражение (3) и производную по времени от увеличения массы и применяя теорему Гаусса, получаем равенство

Таким образом, находим уравнение

Так как поверхность может быть заменена любой произвольной замкнутой поверхностью, проведенной внутри то в каждой точке должно выполняться уравнение

которое представляет собой другую форму уравнения неразрывности.

Применяя теперь формулы (VI) п. 2.34 и (9) п. 3.10, мы последовательно находим равенства

В случае несжимаемой жидкости [см. формулу (4) п. 3.10) и, следовательно, получим уравнение

которое представляет собой уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости; дивергенция обращается в нуль.

Используя прямоугольные координаты уравнение (6) можно свести к виду

В особенно важном случае безвихревого движения получим равенство следовательно, уравнение неразрывности (6) для безвихревого движения жидкости имеет вид

или в прямоугольных декартовых координатах

Уравнение (8) известно как уравнение Лапласа.

Из полученных результатов следует, что жидкость не может двигаться при произвольно выбранном законе распределения скорости. Для того чтобы движение было возможно, необходимо, чтобы удовлетворялось уравнение неразрывности.

В частности, для безвихревых движений жидкости потенциал скорости должен удовлетворять уравнению Лапласа.