14.40. Установившееся движение.

Комплексный потенциал для простой синусоидальной волны, движущейся вперед, был получен в виде уравнения (3) п. 14.11.

Рис. 270.

Если мы будем рассматривать оси координат, движущиеся вместе с волной, то комплексный потенциал можно получить путем замены величины суммой тогда комплексный потенциал принимает вид (рис. 270)

Если всей системе придать скорость с в направлении отрицательной оси х, то оси координат и волновой профиль останутся неподвижными, а жидкость будет иметь общую скорость с, направленную справа налево, причем комплексный потенциал теперь имеет вид

Эта измененная формула комплексного потенциала соответствует установившемуся движению, при котором сила, действующая на любую частицу, не изменяется, так как добавление постоянной скорости не оказывает динамического

воздействия. Проведенная замена переменных удобна тем, что в новой системе отсчета профиль волны теперь является линией тока, соответствующей постоянному значению . В приложениях обычно удобнее начало координат брать на невозмущенной поверхности, следовательно, надо написать вместо Таким образом, окончательно, опуская постоянную получим комплексный потенциал в виде

Дно теперь является также линией тока

в то время как на свободной поверхности имеем

Но с принятой точностью поверхность является линией так что, пренебрегая величиной получаем формулу

В случае глубокой воды комплексный потенциал принимает вид

поэтому для линии тока на поверхности, имеем

что соответствует формуле (2) с принятой точностью.