20.70. Характеристики в изэнтропическом течении.

Установившееся течение, которое рассматривалось в п. 20.43, было гомэнтропическим. В этом пункте мы будем иметь дело с более общим случаем изэнтропического течения, в котором энтропия остается постоянной вдоль каждой линии тока, но не обязательно имеет одно и то же постоянное значение на разных линиях тока.

Представим себе, что поле течения покрыто геометрической сеткой, образованной некоторым семейством кривых С и семейством ортогональных кривых

Рис. 364.

Рассмотрим в некоторой точке кривые На кривой С будем обозначать через элемент дуги, через единичный касательный вектор в направлении увеличения через кривизну в точке Для ортогональной кривой соответствующие величины будем обозначать через Примем в качестве стандартного такое взаимное расположение кривых которое показано на рис. 364 и в котором направление получается из направления поворотом на прямой угол против часовой стрелки.

Тогда, согласно формулам Френе,

поскольку положительное направление вектора нормали к кривой (как мы условились) будет направлением

Дифференцируя формулу получаем

так как Следовательно,

В этих же обозначениях для вектора имеем

Если теперь применить формулу (3) к уравнениям движения (2) и неразрывности (1) п. 20.13, то с учетом формул (1) и (2) получим

Уравнение постоянства энтропии вдоль линии тока [см. (4) п. 20.13] запишется так:

Наконец, уравнение (6) п. 20.13, которое следует из уравнения состояния, дает

Соотношение (8) и (9) можно использовать для исключения из уравнений (4) и (5). Тогда уравнения (4) — (7) будут представлять собой систему четырех совместных линейных алгебраических уравнений для определения четырех неизвестных величин

которые являются производными от по направлению нормали к кривой С.

Если эту систему решать с помощью определителей, то получим

После преобразований найдем, что эти определители соответственно равны

Следуя Мейеру, поставим вопрос о том, существуют ли такие линии С, вдоль которых уравнения движения (4) — (7) не позволяют определить нормальные производные (10) и, следовательно, также производную

Ясно, что такой случай будет иметь место тогда и только тогда, когда величины (11) являются неопределенными, т. е. когда все определители обращаются в нуль. Необходимое условие состоит в обращении в нуль определителя А (следовательно, также и что дает или Если то все определители обращаются в нуль, и тогда кривые С будут линиями тока. Мы вернемся к этому случаю в дальнейшем. Если же

то имеем в то время как условия в комбинации с равенством (12) дадут единственное дополнительное уравнение

Это уравнение вместе с равенством (12) не содержит производных по нормали к кривой С, а также кривизну ортогональной кривой

В частности, течение, в котором имеются разрывы нормальных производных давления, плотности, скорости и энтропии вдоль некоторых

кривых, на которых выполняется условие (13), является течением, не противоречащим уравнениям движения. Указанные кривые называются характеристиками, или линиями Маха. Возможность существования указанных разрывов на линиях Маха отличает сверхзвуковое установившееся течение от дозвукового установившегося течения.

Следует подчеркнуть, что характеристики, определенные здесь условием (12), представляют собой те же самые кривые, которые были рассмотрены в п. 20.41.

Другое условие обращения в нуль определителей есть, как нетрудно видеть, условие Подставляя это условие в уравнения получим

Эти уравнения представляют собой уравнения движения вдоль линии тока, уравнение неразрывности и исходное условие постоянства энтропии вдоль линии тока.

Эти уравнения показывают, что линии тока также обладают некоторыми характеристическими свойствами. Поскольку вышеприведенные уравнения (14) — (16) не содержат производных на линиях тока могут иметь место разрывы этих величин, которые распространяются со скоростью газа. Такие разрывы соответствуют наличию вихря в потоке (см. п. 20.10). Однако обычно энтропия и полная энергия бывают известны на каждой линии тока, следовательно, вихрь определяется уравнением Крокко (3) п. 20.10, и тогда линии тока не будут уже иметь характеристических свойств.

Итак, оказывается, что единственными линиями, на которых уравнения допускают разрывы нормальных производных, являются линии Маха и линии тока. Неопределенность нормальных производных на этих линиях имеет место для производных любого порядка, как это можно доказать, дифференцируя уравнения по любое число раз.

Из равенства (12) следует также, что угол между линиями Маха и линиями тока есть угол Маха Таким образом, если представляет собой угол наклона линии тока к оси х, то наклон линии Маха определяется формулой

Эта формула показывает, что линия Маха, вдоль которой параметры течения (т. е. ) постоянны, должна быть прямой линией (см. п. 20.50).

В статье Мейера (см. примечание к стр. 604) показано, как к уравнениям (13) — (16) можно применять метод численного интегрирования, развитый Массо. Этот метод появился раньше методов, которые развивались Буземаном и другими авторами. Подробности этого метода можно найти в статье Мейера.

В случае осесимметричного движения надо рассматривать кривые лежащие в какой-либо меридиональной плоскости. Пусть касательная в точке образует угол с осью и пусть — расстояние точки от оси. Тогда единственное изменение в полученных выше уравнениях, связанное с осесимметричностью течения, будет состоять в том, что в левые части уравнений (6) и (13) добавятся соответственно члены где