3.40. Скорость изменения количества движения.

Рассмотрим жидкость, которая в момент времени находится внутри (рис. 53) замкнутой поверхности . В момент времени эта масса жидкости переместится и займет внутренность замкнутой поверхности

Пусть -область, внутренняя по отношению к поверхности и внешняя по отношению к поверхности и пусть В — область, внутренняя по отношению к поверхности и внешняя относительно поверхности Пусть количество движения жидкости в момент времени находящейся внутри поверхности Тогда в момент времени количество движения той же массы жидкости равно

плюс количество движения жидкости, находящейся в области В, минус количество движения жидкости, находящейся в области А.

Рис. 53.

Последние два члена представляют собой количество движения жидкости, которое вытекает через поверхность за время

Следовательно, скорость изменения количества движения жидкости, которая в момент времени занимает область внутри замкнутой поверхности равна плюс поток количества движения за единицу времени через границу поверхности

Поскольку

то поток количества движения за единицу времени через границу поверхности определяется интегралом

здесь нормальная составляющая скорости течения жидкости через элемент Тензор представляет собой тензор переноса количества движения, так как его скалярное произведение на вектор равно величине которая является отнесенным к единице площади количеством движения, переносимым за единицу времени через элемент поверхности

Таким образом, искомая скорость изменения количества движения определяется формулой

Если использовать теорему Гаусса [формула (7) п. 2.61], затем формулу (9) п. 3.10 и, наконец, уравнение неразрывности, то из формулы (1) получим соотношение

Итак, полученный результат мы можем рассматривать следующим образом: скорость изменения количества движения жидкости внутри поверхности когда движется вместе с жидкостью, определяется равенством

так как здесь третий интеграл обращается в нуль в силу уравнения неразрывности [см. формулу (1) п. 3.20].