3.51. Скорость изменения циркуляции.

Пусть -замкнутый контур, движущийся вместе с жидкостью, т. е. контур, который всегда состоит одних и тех же частиц жидкости. Пусть а обозначает ускорение частицы жидкости и В ее вихрь

Тогда в движущейся жидкости для скорости изменения циркуляции по замкнутому контуру С мы имеем

так как то, следовательно, интеграл по контуру С от этой величины равен нулю.

Таким образом, по теореме Стокса имеем

где интеграл в правой части берется по любой поверхности натянутой на контур С. Следовательно,

Теперь заметим, что векторное поле В является соленондальным (см. п. 2.24, примечание), так как, согласно уравнению (II) п. 2.32,

и, следовательно, мы можем определить единичные -трубки (2.615). Таким образом, из уравнения (4) находим

где число единичных -трубок, проходящих сквозь контур С. Этот результат справедлив для потока вязкой и сжимаемой жидкости, так же как для невязкой или несжимаемой жидкости.

Для невязкой жидкости под действием консервативных сил мы имеем

и, следовательно,

Если мы назовем величину удельным объемом жидкости, то векторы соответственно перпендикулярны поверхностям постоянного давления и постоянного удельного объема, так что вектор В касателен к кривой пересечения этих поверхностей. Направление вектора В определяет знак циркуляции по контуру С.

Рассмотрим пример. При заданных температуре и давлении вода с большим содержанием соли имеет ббльшую плотность и, следовательно, меньший удельный объем. Предположим, что в океане содержание соли уменьшается в некотором направлении. Тогда удельный объем в том же направлении увеличивается, а давление всегда растет книзу. В результате оказывается, что циркуляционное течение вдоль дна происходит в направлении уменьшения содержания соли, а вдоль поверхности — в направлении увеличения содержания соли. Этим объясняются морские поверхностные течения в более соленое Средиземное море из Черного моря через Босфор и из Атлантики через Гибралтарский пролив.

Из формулы (6), очевидно, следует, что необходимым и достаточным условием для постоянства циркуляции по замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, является условие или

Основным следствием этого результата является теорема Кельвина о постоянстве циркуляции по замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью), если жидкость является идеальной, а ее плотность или постоянна, или является функцией давления (баротропная жидкость).

Доказательство. Если плотность является постоянной, то и из формулы (7) следует Если плотность является функцией от то векторы и параллельны между собой и, следовательно, из формулы (7) имеем . В обоих случаях так что не зависит от времени.