19.31. Течение между двумя параллельными пластинками.

Рассмотрим несжимаемую жидкость, которая вынуждена под действием давления двигаться между двумя неподвижными параллельными пластинками, находящимися на расстоянии одна от другой (рис. 335).

Рис. 335.

Будем считать, что одна пластинка расположена в плоскости х, у, а другая — в плоскости

Предположим сначала, что движение происходит только в направлении оси х, поэтому в выражении для скорости

составляющие Уравнение неразрывности при этом имеет вид значит, и не зависит от х. Если движение является установившимся, то и есть функция только от и не зависит от времени. Следовательно, уравнения движения будут таковы:

Таким образом, величина не зависит от следовательно, решение имеет вид

где постоянные, которые надо определить из граничных условий.

Поскольку при то получим окончательно, что

Среднее значение и по сечению, перпендикулярному к х, равно

Значит, , а скорость посередине между пластинками равна

Скорость по сечению между пластинками будет меняться по «параболическому закону». Если из каждой точки на линии, параллельной оси отложить вектор скорости, то концы этих векторов будут лежать на одной параболе (см. рис. 1).

Рассматриваемое движение является вихревым; вихрь здесь равен

Благодаря вязкости на жидкость со стороны верхней пластинки будет действовать следующая сила:

Таким образом, со стороны жидкости на каждую пластинку будет действовать сила, направленная вдоль по потоку. Величина силы, отнесенная к единице площади, равиа

Скорость диссипации энергии на единицу объема жидкости при этом будет равна

Значит, если рассматривать столбик жидкости с площадью основания, равной единице, и высотой то скорость диссипации на единицу площади пластинки будет равна

Для определения притока тепла в единицу времени сделаем допущение, что на каждой пластинке поддерживается одинаковая постоянная температура Тогда и по п. 19.22 получим

Предположим, что коэффициент вязкости не зависит от распределения температуры в жидкости (что будет почти верно в случае, когда пластинки расположены близко друг от друга). В этом случае решение этого уравнения имеет вид

Поскольку при то будем иметь

Предположим теперь, что течение является двумерным, т. е. всюду Будем считать, что пластинки расположены очень близко друг к другу. Тогда составляющие скорости будут изменяться от своих максимальных значений посередине между пластинками до нуля на очень коротком расстоянии Следовательно, производные этих составляющих в направлении должны быть очень большими по сравнению с их производными в направлениях х и у. Если пренебречь этими последними производными, то уравнение движения примет вид

Отсюда значит, является функцией только от х и у.

Итак,

и мы получим решения в том же виде, что и выше:

являются, как и ранее, средними значениями и и о.

Следовательно,

и, значит, величины можно рассматривать как составляющие скорости плоского движения невязкой несжимаемой жидкости с потенциалом

Если в области между пластинками поместить некоторый цилиндр высотой то течение на плоскости, проходящей посередине между пластинками, будет при этом таким же, как течение невязкой жидкости, обтекающей цилиндр такого же поперечного сечения. Надо оговориться, однако, что эта аналогия нарушается на расстояниях от тела, сравнимых с величиной Но поскольку размер можно брать таким малым, каким мы пожелаем, то это ограничение является несущественным. Это обстоятельство позволило Хел-Шоу и другим исследователям получить прекрасные экспериментальные картины плоского течения идеальной несжимаемой жидкости с помощью впрыскивания в поток красящего вещества, позволяющего обнаруживать линии тока.