12.23. Задача Рябушинского.

Пусть в равномерный поток скорости помещены две (вместо одной) параллельные пластинки. При этом концы пластинок соединены свободными линиями тока (рис. 208). Полученная схема течения впервые была исследована Рябушинским.

В этой схеме пластинки расположены перпендикулярно направлению невозмущенного потока, которое совпадает с линией, соединяющей середины пластинок. Здесь точка обозначает середину свободной линии тока, соединяющей концы пластинок. Поток имеет две оси симметрии, с которыми совмещены координатные оси Комплексная скорость имеет значения соответственно в точках , где V — постоянная величина скорости на свободной линии тока.

Рис. 208.

Рис. 209.

На рис. 209 изображена четвертая часть потока на плоскости (плоскость годографа), а также на плоскости На первой плоскости свободная линия тока переходит в дугу четверти окружности, так как на ней На второй плоскости свободная линия тока переходит в дугу полуокружности. Эту полуокружность отобразим на верхнюю половину плоскости изображенной на рис. 210, с помощью преобразования

которое переводит точку А в точку и точку в точку — 1. Для определения отображения на плоскости можно положить в силу симметрии на оси у, а также на свободной линии тока. Рассматриваемая здесь часть потока отображается на третий квадрант плоскости следовательно, на верхнюю половину плоскости (рис. 211).

С помощью преобразования Мебиуса (см. пример 14, гл. 5)

отобразим верхнюю половину плоскости на верхнюю половину плоскости при этом соответствующим образом выбранные действительные константы (константы действительны, так как при отображении действительные оси соответствуют друг другу). Подставляя из формулы (1) в формулу (2), получаем следующую формулу для отображения плоскости на плоскость годографа:

где являются константами. Так как в точке имеем то Таким образом, числитель принимает вид . В точке имеем так что

Таким образом, в знаменателе получим выражение

Следовательно, мы можем написать

Заметим, что в силу формулы (1) п. 12.10

где — число кавитации.

Формула (3) дает соотношение между до и таким образом, сводит решение задачи к квадратуре.

Рис. 210

Рис. 211.

Применяя обозначения эллиптических функций, напишем

здесь квадрат модуля, дополнение до квадрата модуля. Значения комплексной скорости в точках равны соответственно и, следовательно, соответствующие значения величины и равны

Поэтому область в комплексной плоскости и имеет вид, изображенный на рис. 212.

Из формулы (3) после некоторых преобразований получаем

Теперь имеем

и поэтому в силу формул (5) и (6) находим

Отсюда путем интегрирования получим

здесь - произвольная константа, и — эллиптические интегралы второго рода в обозначениях Невилля. Константы определяются условиями

где ширина пластинки и расстояние между пластинками.

Рис. 212.

Обозначим через коэффициент лобового сопротивления одной пластинки как функцию от числа кавитации о. Можно доказать, что при малых а приближенно выполняется равенство

значение числа кавитации соответствует бесконечно большому значению А, т. е. случаю, когда одна из пластинок удалена в бесконечность. Тогда, согласно п. 12.22, имеем

Так как на практике приходится иметь дело с малыми числами кавитации, то схема Рябушинского приобретает важное значение благодаря удобству ее применения в случае переменных, но малых чисел кавитации.