19.41. Составляющие напряжения.

Пусть некоторые ортогональные координаты. Обозначим составляющие напряжения в направлениях на плоскости, перпендикулярной к следующим образом:

Тогда в декартовых координатах будем иметь девять составляющих напряжения на плоскостях, перпендикулярных к а именно

Положив в формуле для напряжения будем иметь для несжимаемой жидкости

и, таким образом,

Отсюда следует, что так что девять составляющих напряжения фактически сводятся к шести составляющим, а именно

Этот результат можно также получить, рассматривая бесконечно малый параллелепипед и приравнивая нулю моменты напряжений относительно линий, проходящих через центр параллелепипеда и параллельных его

ребрам. Этим же способом можно показать, что полученный выше результат справедлив для любой системы координат.

В более общем случае для любой ортогональной системы координат (см. п. 2.72) имеем

Но по формуле (IV) из п. 2.34

Отсюда с помощью способа, примененного в п. 2.27, получим последовательно

Тогда, отбрасывая взаимно уничтожающиеся члены, будем иметь

Непосредственно можно выписать и остальные составляющие напряжения. Из вышеприведенных соотношений видно, что так как эти соотношения не меняют своего вида при перестановке индексов.

В случае цилиндрических координат (см. п. 2.72) получим, что и

Составляющие напряжения в сферической системе координат приведены в примере 20 в конце главы.

Вышеуказанные формулы применимы только для несжимаемой жидкости. Для сжимаемого газа, как показывает уравнение (5) п. 19.02,

величину в этих формулах надо заменить на где выражается формулой (2) из п. 2.72.