2.40. Анализ движения элемента жидкости.

Рассмотрим бесконечно малый элемент жидкости с центром в точке

Пусть радиус-вектор точки этого элемента жидкости относительно точки равен (рис. 35). Тогда, если скорость жидкости в точке равна скорость в точке согласно п. 2.31, будет равна

Рассмотрим уравнение

где с — некоторая постоянная. Левая часть этого уравнения является однородной квадратичной функцией относительно компонент вектора следовательно, представляет собой поверхность второго порядка Найдем нормаль к поверхности в точке с радиусом-вектором Если вектор лежит в касательной плоскости к поверхности в точке то вектор с точностью до малых первого порядка относительно величины удовлетворяет уравнению поверхности. Поэтому после подстановки в уравнение поверхности и отбрасывания члена второго порядка, содержащего величину мы получим уравнение

Но так как оператор V действует на вектор и не действует на вектор то из формулы (3) п. 2.31 мы находим соотношение

Рис. 35.

Из равенства (V) п. 2.34 следует соотношение

Следовательно, из формулы (2) получаем уравнение

Так как нормаль к поверхности в точке перпендикулярна вектору то, следовательно, она направлена вдоль вектора

Таким образом, из формул (1) и (3) мы получаем выражение для скорости жидкости в точке в виде

Отсюда видно, что скорость в точке имеет три слагаемых:

1) скорость точки которая соответствует перемещению элемента как целого;

2) скорость которая представляет собой скорость вращения элемента как целого с угловой скоростью (см. п. 2.12);

3) скорость относительно точки направленная по нормали к той поверхности из семейства центральных поверхностей второго порядка на которой лежит точка

Первые два слагаемых описывают движение твердого тела; они сохранились бы, если бы элемент жидкости «отвердел». Третье слагаемое, называемое чистой деформацией, может существовать только в деформируемой среде, например в жидкости. Этот тип относительного движения характерен для любой деформируемой среды, независимо от того, является ли она жидкостью или нет.

Чтобы выяснить природу чистой деформации, заметим, что центральная поверхность второго порядка имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые нормальны касательным плоскостям к поверхности в точках пересечения ее с осями симметрии. Отрезки прямых, параллельных этим осям, растягиваются с постоянными (хотя, вообще говоря, разными) скоростями. Такое движение будет деформировать элемент, имевший первоначально форму сферы, в эллипсоид. Кроме того, заметим, что линии, взятые в направлении осей симметрии в момент времени останутся взаимно перпендикулярными в момент Так как оси симметрии параллельны нормалям к поверхности в точках пересечения ее с осями симметрии, направление этих осей задается уравнением

Проведенный анализ показывает, что такое описание движения связано с существенными свойствами жидкости и не зависит от выбранной системы координат.