2.22. Изменение скалярной функции координат.

Пусть скалярная функция точки в пространстве, так что значения функции образуют скалярное поле. Будем предполагать, что функция непрерывна вместе со своими первыми частными производными. Тогда существует, вообще говоря, семейство поверхностей, на каждой из которых функция постоянна. Мы назовем их поверхностями уровня функции

Пусть произвольная точка, близкая к ней точка, лежащая на нормали к поверхности уровня в (рис. 32). Через обозначено значение функции в Тогда если рассматривать как величину первого порядка малости, то можно записать

где через обозначена скорость изменения функции при смещении точки в направлении

Рис. 32.

Пусть произвольная точка, близкая к и пусть поверхность уровня пересекает отрезок в точке Примем, что с точностью до малых первого порядка отрезок перпендикулярен отрезку Тогда

так что

где через обозначен вектор, направленный вдоль и равный по величине

Из этого определения после замены вектора на где единичный вектор, направленный вдоль нормали к поверхности уровня функции в точке следует равенство

Для применяются различные обозначения:

В первом из них изменение координаты радиуса-вектора точки обозначено через , а во втором изменение координаты радиуса-вектора обозначено через Преимущество последнего состоит в том, что обозначение явно указывает на точку Обозначение можно сравнить с обычной частной производной но следует помнить, что мы не можем делить на вектор, так что выражение нельзя рассматривать как предел отношения двух малых величин. Символ V (произносится «набла») введен Гамильтоном и называется так потому, что знак V формой напоминает арфу Векторный оператор? аналогичен скалярному оператору тем, что это обозначение не указывает явно независимую переменную. Тем не менее это обозначение удобно. В дальнейшем мы будем использовать то обозначение из равенств (4), которое окажется более подходящим к рассматриваемому случаю.

Возвращаясь к равенству (2), отметим, что скорость изменения функции при перемещении точки по направлению равна

и является компонентой вектора по направлению Таким образом, если в равенство (2) ввести обозначение

то мы получим соотношение

Следовательно, мы должны рассматривать V как векторный оператор, применение которого к скалярной функции дает вектор, компонента которого по любому направлению равна скорости изменения функции по этому направлению.