2.52. Безвихревое движение.

Пусть -фиксированная, произвольная точки некоторой односвязной области, в которой движение жидкости является безвихревым. Соединим точки двумя кривыми и каждая из которых лежит в нашей области (рис. 40).

Тогда для замкнутой кривой согласно теореме Стокса, имеет место соотношение

где - произвольная поверхность, натянутая на контур и целиком лежащая в рассматриваемой области. Так как движение безвихревое, то следовательно,

Рис. 40.

Здесь скалярная функция, величина которой зависит только от положения точки (и положения фиксированной точки О) и не зависит от выбора пути из точки О в точку

Далее, выберем точку настолько близкой к точке что можно считать вектор скорости постоянным вдоль отрезка

Обозначим через радиус-вектор точки относительно точки Тогда можно записать следующее приближенное соотношение:

где через обозначено

Так как произвольная точка, близкая к точке то вектор также произвольный и, следовательно,

Таким образом, если движение жидкости безвихревое, то вектор скорости является градиентом некоторой скалярной функции координат

Эта скалярная функция называется потенциалом скорости. Мы доказали необходимость существования потенциала скорости при безвихревом движении жидкости. Обратно, если существует потенциал скорости, то движение жидкости является безвихревым, так как, согласно формуле (3) п. 2.32,

Кроме того, из свойств векторной функции следует, что скорость жидкости в любой точке перпендикулярна поверхности проходящей через эту точку. Другими словами, линии тока ортогональны эквипотенциальным поверхностям.